85681 (Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами), страница 3

Пусть - произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех метанильпотентных групп образует насыщенную формацию (см. лемму Error: Reference source not found), то - единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . В силу (2), является элементарной абелевой -группой для некоторого простого . Пусть - максимальная подгруппа в такая, что . Пусть . Ясно, что . Так как , мы видим, что . Это показывает, что и, следовательно, . Ясно, что и поэтому по выбору группы , не является нильпотентной группой.

(4) Заключительное противоречие.

В силу (3), в группе имеется максимальная подгруппа , которая не является нормальной подгруппой в . Поскольку для любого , - максимальная в подгруппа и - максимальная подгруппа в , то - -максимальная в подгруппа. Если - нормальная подгруппа в , то . Значит, не является нормальной подгруппой в . Покажем, что - максимальная подгруппа группы . Пусть . Пусть - такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда . Значит, или . Первый случай, очевидно, невозможен. Следовательно, . Так как , то - максимальная в подгруппа. Тогда для любого , -перестановочна с . Поскольку , то ввиду леммы Error: Reference source not found(6), перестановочна с . Из максимальности подгруппы следует, что или . Если , то ввиду леммы Error: Reference source not found, . Полученное противоречие показывает, что . Тогда для любого и поэтому . Следовательно, . Это означает, что - нормальная подгруппа в , противоречие. Теорема доказана.

[2.1]. Каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна с любой максимальной подгруппой в тогда и только тогда, когда либо нильпотентна, либо - такая ненильпотентная группа с , что циклическая силовская -подгруппа группы не нормальна в , а максимальная подгруппа группы нормальна в .

Доказательство. Необходимость. Разрешимость группы следует из теоремы Error: Reference source not found. Предположим теперь, что не является нильпотентной группой. Пусть - максимальная подгруппа группы , которая не является нормальной в . Пусть и - максимальная подгруппа группы . Рассуждая как выше видим, что . Следовательно, , и - циклическая примарная группа. Пусть . Покажем, что . Допустим, что . Пусть - силовская -подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы и, следовательно, по условию - подгруппа группы , что противоречит максимальности подгруппы . Отсюда следует, что .

Достаточность очевидна. Следствие доказано.

[2.2]. Если в группе любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы и , то - нильпотентная группа.

В дальнейшем нам потребуется следующая теорема.

[2.2]. Пусть - группа, - ее подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная подгруппа группы -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы , то группа разрешима и для каждого простого .

Доказательство. Предположим, что данная теорема не верна, и пусть - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) - разрешимая группа.

Действительно, если , то каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы . Тогда по следствию Error: Reference source not found, каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима. Согласно известной теоремы Хупперта Error: Reference source not found о разрешимости группы, в которой все собственные подгруппы сверхразрешимы, - разрешимая группа.

Пусть теперь . Так как условие теоремы справедливо для группы , то группа разрешима и поэтому - разрешимая группа.

(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

и ,

где - такая максимальная в подгруппа, что , и .

Так как класс всех разрешимых групп с образует насыщенную формацию , то ввиду (1), и поэтому в группе существует единственная минимальная нормальная подгруппа . Из леммы Error: Reference source not found вытекает, что , где - такая максимальная в подгруппа, что и . Покажем, что делит . Если не делит , то - -группа, и поэтому , что противоречит выбору группы . Итак, делит . Допустим, что . Тогда факторгруппа изоморфна подгруппе группы автоморфизмов . Так как группа абелева, то - сверхразрешимая группа, и поэтому . Полученное противоречие с выбором группы показывает, что .

(3) Заключительное противоречие.

Пусть - -максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Тогда и . Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что является максимальной подгруппой группы . Покажем, что - максимальная подгруппы группы и - максимальная подгруппа группы . Так как , то - собственная подгруппа группы . Предположим, что в существует подгруппа такая, что . Тогда из того, что - максимальная подгруппа группы , следует, что либо , либо . Если , то , противоречие. Используя приведенные выше рассуждения видим, что . Следовательно, - максимальная подгруппа в . Рассуждая как выше, мы видим, что и - максимальные подгруппы группы . Отсюда следует, что - -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . По условию существует элемент такой, что . Следовательно,

и поэтому . Таким образом, каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы . Ввиду (2) и следствия Error: Reference source not found, получаем, что , где силовская -подгруппа нормальна в группе . Значит, , где и . Пусть - силовская -подгруппа и - силовская -подгруппа группы . Пусть - -максимальная подгруппа группы такая, что . Так как , то - неединичная подгруппа. Ясно, что - -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Следовательно, по условию подгруппа -перестановочна с , и поэтому для некоторого мы имеем - подгруппа группы . Поскольку , то - нормальная подгруппа в группе . Так как , то - нормальная подгруппа в группе . Получили противоречие с тем, что - минимальная нормальная подгруппа. Теорема доказана.

Для доказательства теоремы [2.3] нам понадобятся следующие две леммы.

Если все максимальные подгруппы группы имеют простые порядки, то сверхразрешима.

Доказательство. Так как в группе все -максимальные подгруппы единичны, то ввиду следствия Error: Reference source not found группа либо нильпотентна, либо , где - подгруппа простого порядка и - циклическая -подгруппа, которая не является нормальной в подгруппой ( - различные простые числа). Предположим, что не является нильпотентной группой. Тогда . Поскольку , то - максимальная подгруппа группы и поэтому . Так как группа порядка разрешима, то группа разрешима. Значит, - нормальная в подгруппа и поэтому главные факторы группы имеют простые порядки. Следовательно, - сверхразрешимая группа. Лемма доказана.

Если в группе каждая максимальная подгруппа , индекс которой является степенью числа , нормальна в , то - -нильпотентная группа.

Доказательство. Предположим, что данная лемма не верна, и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы группы факторгруппа -нильпотентна.

Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что явяется степенью числа . Тогда - максимальная в подгруппа и является степенью числа . По условию, нормальна в , и поэтому нормальна в . Так как , то - -нильпотентная группа.

(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и - -подгруппа.

Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех -нильпотентных групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), и - единственная минимальная нормальная подгруппа группы . Предположим, что - -подгруппа. Тогда для некоторой -холловой подруппы группы . Поскольку ввиду (1), нормальна в , то - нормальная подгруппа в группе , противоречие. Следовательно, - элементарная абелева -подгруппа.

(3) Заключительное противоречие.

Пусть - максимальная подгруппа группы , не содержащая . Поскольку абелева, то и поэтому . Это влечет . Следовательно, для некоторого . Значит, - нормальная в подгруппа и поэтому , противоречие. Лемма доказана.

Дополнением к теореме [2.2] является следующий факт.

[2.3]. Пусть - группа, - ее подгруппа Фиттинга. Если любая максимальная подгруппа группы -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы , то группа разрешима и для каждого простого .

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть - контрпример минимального порядка.

(1) - непростая группа. Допустим, что . Поскольку ввиду леммы Error: Reference source not found(3), условие теоремы выполняется для факторгруппы , то по выбору группы , разрешима и поэтому - разрешимая группа. Полученное противоречие показывает, что и, следовательно, любая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами в .

Предположим, что все -максимальные подгруппы группы единичны. Тогда порядок каждой -максимальной подгруппа группы является делителем простого числа. Следовательно, любая максимальная подгруппа группы либо нильпотентна (порядка или ), либо является ненильпотентной подгруппой и имеет порядок . Значит, все максимальные подгруппы сверхразрешимы. Но ввиду теоремы Error: Reference source not found, мы получаем, что разрешима. Это противоречие показывает, что в группе существует неединичная -максимальная подгруппа . Пусть - максимальная подгруппа группы , содержащая . Тогда для любого , . Если , то ввиду леммы Error: Reference source not found, . Полученное противоречие показывает, что . Тогда , что влечет . Следовательно, - неединичная нормальная подгруппа в и поэтому группа непроста.

(2) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа разрешима (это прямо вытекает из леммы Error: Reference source not found(3)).