85681 (Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами), страница 9

и поэтому подгруппы и перестановочны.

Если , то рассуждая подобным образом, получаем, что перестановочна с .

Допустим, что . Так как в все максимальные подгруппы, отличные от , примарные и циклические, то - максимальная подгруппа в . Следовательно, . Это означает, что в группе существует единственная -максимальная подгруппа и она единична. Таким образом, перестановочна с .

2. Пусть теперь .

Пусть . Тогда - нормальная подгруппа в и поэтому перестановочна с . Пусть . Тогда . Поскольку для некоторого , , то без ограничения общности можно предположить, что . Значит, . Если , то и поэтому

Допустим, что . Тогда - -группа. Поскольку для некоторого , и , то и поэтому . Пусть теперь . Пусть - силовская -подгруппа и - силовская -подгруппа в соответственно. Тогда . Ясно, что для некоторого и . Следовательно, и поэтому . Если , то

Если , то

В любом случае, -максимальная подгруппа перестановочна с максимальной подгруппой .

Пусть - группа типа (2) или (3). Если , то . Поскольку , то - -максимальная подгруппа группы . Если , то содержится в некоторой максимальной циклической подгруппе группы . Так как , то - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что

Значит, перестановочна с . Пусть . Если , то для некоторого . Поскольку то

и поэтому перестановочна с . Если , то . Из того, что , следует, что . Значит, перестановочна с .

Пусть теперь . Тогда - -группа и, следовательно, для некоторого , . Без ограничения общности можно предположить, что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы , содержащая . Допустим, что . Если , то . Предположим, что . Тогда - циклическая группа. Поскольку , то - максимальная подгруппа группы . Из того, что - циклическая подгруппа следует, что . Значит, . Поскольку , то - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в . Значит, перестановочна с .

Пусть . Поскольку - циклическая группа, то - нормальная подгруппа в . Следовательно, перестановочна с . Теорема доказана.

Если в группе любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы и , то - нильпотентная группа.

Легко видеть, что классы групп теоремы попарно не пересекаются. Отметим, что, как и в случае теоремы, можно построить примеры групп типов (1) - (3).

Заключение

В данной работе дано описание групп, у которых максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами групп; описание ненильпотентных групп, у которых каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами; описание ненильпотентных групп, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами. Доказана -разрешимость и найдены оценки -длины групп, у которых каждая -максимальная подгруппа -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами, где .

Литература

1.Боровиков М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.

2.Боровиков М.Т. О -разрешимости конечной группы // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И. Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7.

3.Белоногов В.А. Конечные разрешимые группы с нильпотентными -максимальными подгруппами // Матем. заметки. - 1968. - Т. 3, № 1. - С. 21-32.

4.Беркович Я.Г. Конечные группы с дисперсивными вторыми максимальными подгруппами // Докл. АН СССР. - 1964. - Т. 158, № 5. - С. 1007-1009.

5.Беркович Я.Г. Конечные группы, у которых все -е максимальные подгруппы являются обобщенными группами Шмидта // Мат. заметки. - 1969. - Т. 5, № 1. - С. 129-136.

6.Беркович Я.Г. Конечные неразрешимые группы с абелевыми третьими максимальными подгруппами // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. - 1969. - № 7. - С. 10-15.

7.Беркович Я.Г., Пальчик Э.М. О перестановочности подгрупп конечной группы // Сиб. мат. журн. - 1967. - Т. 8, № 4. - С. 741-753.

8.Веньбинь Го, Шам К.П., Скиба А.Н., -накрывающие системы подгрупп для классов -сверхразрешимых и -нильпотентных конечных групп // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92.

9.Голубева О.В., Пальчик Э.М. К теореме Виланда // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2001. - № 3. - С. 135-136.

10.Курносенко Н.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентными подгруппами // Вопросы алгебры. Выпуск 12. - 1998. С. 113-122.

11.Пальчик Э.М. О -квазинормальных подгруппах // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 11. - С. 967-969.

12.Пальчик Э.М. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.

13.Пальчик Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.