85681 (612546), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

(2) - группа Шмидта, где - группа кватернионов порядка и - группа порядка ;

(3) и ,

где - группа простого порядка , - нециклическая -группа и все ее максимальные подгруппы, отличные от , цикличны;

(4) ,

где - группа порядка , - группа простого порядка , отличного от ;

(5) ,

где - группа порядка , каждая подгруппа которой нормальна в группе , - циклическая -группа и ;

(6) ,

где - примарная циклическая группа порядка , - группа простого порядка , где и ;

(7) ,

где и - группы простых порядков и ( ), - циклическая -подгруппа в ( ), которая не является нормальной в , но максимальная подгруппа которой нормальна в .

Доказательство. Необходимость. Пусть - ненильпотентная группа, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы .

Если в группе все максимальные подгруппы нильпотентны, то группа является группой Шмидта. Ввиду леммы, группа оказывается группой типа (1) или типа (2).

Итак, мы можем предположить, что в группе существует ненильпотентная максимальная подгруппа.

Из теоремы следует, что группа разрешима. Так как в разрешимой группе индекс любой максимальной подгруппы является степенью простого числа, то .

I. .

Пусть - некоторая силовская -подгруппа в и - некоторая силовская -подгруппа в , где .

Предположим, что в группе нет нормальных силовских подгрупп. Так как группа разрешима, то в существует нормальная подгруппа простого индекса, скажем индекса , и она не является нильпотентной группой. Действительно, если нильпотентна, то в ней нормальна силовская -подгруппа . Так как , то - нормальная подгруппа в . Из того, что следует, что - нормальная силовская -подгруппа в . Полученное противоречие показывает, что не является нильпотентной подгруппой.

Так как является максимальной подгруппой в , то по условию все 2-максимальные подгруппы группы перестановочны с каждой максимальной подгруппой группы . Ввиду следствия Error: Reference source not found, группа имеет вид , где - группа простого порядка и - циклическая -подгруппа.

Так как

и факторгруппа изоморфна подгруппе из , то больше .

Если - нильпотентная группа, то и поэтому согласно теореме Бернсайда Error: Reference source not found, группа -нильпотентна. Но тогда . Полученное противоречие показывает, что является ненильпотентной группой. Так как - нормальная подгруппа в , то ввиду следствия Error: Reference source not found, подгруппа имеет вид , где - циклическая -подгруппа, и, следовательно, . Полученное противоречие показывает, что в группе существует нормальная силовская подгруппа.

Пусть, например, такой является силовская -подгруппа группы . Пусть . Ясно, что .

Если в группе существует подгруппа Шмидта , индекс которой равен , то . Ввиду следствия Error: Reference source not found, - группа порядка .

Пусь . Допустим, что - циклическая подгруппа. В этом случае, группа является группой Шмидта. Полученное противоречие с выбором группы показывает, что - нециклическая подгруппа. Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Если - нильпотентная подгруппа, то группа нильпотентна, противоречие. Следовательно, - группа Шмидта, и поэтому - циклическая подгруппа. Таким образом, группа относится к типу (3).

Пусть . Тогда . Следовательно, - -максимальная подгруппа группы . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы . Если - нильпотентная подгруппа, то , и поэтому . Полученное противоречие показывает, что - группа Шмидта. Значит, - циклическая подгруппа. Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Так как , то - единственная -максимальная подгруппа группы . Следовательно, . Факторгруппа , где - элементарная абелева подгруппа порядка и . Так как - неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то - циклическая группа, и поэтому подгруппа циклическая, противоречие.

Предположим теперь, что у всех подгрупп Шмидта индекс в группе является степенью числа .

Так как в группе существуют собственные подгруппы Шмидта, то . Пусть - подгруппа Шмидта группы . Тогда для некоторого . Понятно, что для некоторого имеет место и поэтому не теряя общности мы может полагать, что . Поскольку , то . Из того, что , следует, что .

Так как - максимальная подгруппа группы , то по условию 2-максимальные подгруппы группы перестановочны со всеми максимальными подгруппами в . Используя следствие, мы видим, что - группа простого порядка и - циклическая подгруппа, причем все собственные подгруппы группы нормальны в . Следовательно, является максимальной подгруппой группы .

Предположим, что . Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда . Из того, что , следует, что - нильпотентная максимальная подгруппа в . Значит, - нормальная подгруппа в . Поскольку нормальна в , то - нормальная подгруппа группы . Так как , то в группе существует 2-максимальная подгруппа такая, что . Тогда - -максимальная подгруппа в , и следовательно, - -максимальная подгруппа в . Поскольку по условию перестановочна с , то

что приводит к противоречию с максимальностью подгруппы . Следовательно, .

Предположим теперь, что . Допустим, что . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы и - произвольная -максимальная подгруппа группы . Рассуждая как выше видим, что - нормальная подгруппа в группе и поэтому - подгруппа группы . Используя приведенные выше рассуждения видим, что . Полученное противоречие с максимальностью подгруппы показывает, что . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что . Так как , то - абелева и поэтому . Следовательно, . Так как , то . Из того, что

получаем, что , и поэтому - нормальная подгруппа в группе .

Предположим, что в группе существует подгруппа порядка , отличная от . Из того, что порядок следует, что - максимальная подгруппа группы . Отсюда следует, что - -максимальная подгруппа группы . Так как по условию подгруппы и перестановочны, то мы имеем

Следовательно, - подгруппа группы , и поэтому

Это противоречие показывает, что в группе существует единственная подгруппа порядка . Ввиду теоремы Error: Reference source not found, группа является либо группой кватернионов порядка , либо является циклической группой порядка . В первом случае, подгруппа порядка группы содержится в центре группы , и поэтому подгруппа не является группой Шмидта, противоречие. Следовательно, мы имеем второй случай. Значит, - циклическая подгруппа порядка . Понятно, что . Если , то подгруппа нормальна в группе , и поэтому . Полученное противоречие показывает, что . Таким образом, - группа типа (6). Пусть теперь . Если порядок , то , и поэтому - группа типа (4). Предположим, что порядок . Пусть - максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Из того, что , следует, что - неединичная подгруппа. Так как подгруппа нильпотентна, то . Но как мы уже знаем, - циклическая подгруппа и поэтому . Следовательно, . Пусть - произвольная подгруппа порядка группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Значит, по условию подгруппы и перестановочны. Так как - абелева подгруппа, то - нормальная подгруппа в группе . Заметим, что поскольку , то

является нормальной подгруппой в и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Это означает, что - группа типа (5).

II. .

Пусть - некоторая силовская -подгруппа группы , - некоторая силовская -подгруппа группы и - некоторая силовская -подгруппа группы , где - различные простые делители порядка группы . Пусть - произвольная нормальная максимальная подгруппа группы . Так как - разрешимая группа, то индекс подгруппы в группе равен некоторому простому числу. Пусть, например, индекс равен . Ввиду следствия Error: Reference source not found, - либо нильпотентная подгруппа, либо ненильпотентная группа порядка .

1. Предположим, что - нильпотентная подгруппа. Пусть - силовская -подгруппа группы , - силовская -подгруппа группы и - силовская -подгруппа группы . Тогда . Так как и , то и - нормальные подгруппы в группе . Из того, что индекс подгруппы равен , следует, что и - силовские подгруппы группы и поэтому и . Понятно, что для некоторого имеет место и поэтому, не теряя общности, мы можем полагать, что . Следовательно, . Ясно, что не является нормальной подгруппой в группе .

Если подгруппы и нильпотентны, то и , и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Значит, подгруппы и не могут быть обе нильпотентными подгруппами. Следовательно, возможны следующие случаи.

а) и - группы Шмидта.

Так как , то ввиду следствия Error: Reference source not found, - подгруппа простого порядка и - циклическая подгруппа, которая не является нормальной в группе , но максимальная подгруппа группы нормальна в . Аналогично видим, что - подгруппа простого порядка и - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в , и поэтому является группой типа (7).

Характеристики

Список файлов курсовой работы