85681 (612546), страница 9
Текст из файла (страница 9)
и поэтому подгруппы 
и 
перестановочны.
Если 
, то рассуждая подобным образом, получаем, что перестановочна с .
Допустим, что 
. Так как в 
все максимальные подгруппы, отличные от 
, примарные и циклические, то 
- максимальная подгруппа в . Следовательно, 
. Это означает, что в группе 
существует единственная 
-максимальная подгруппа и она единична. Таким образом, перестановочна с .
2. Пусть теперь 
.
Пусть 
. Тогда 
- нормальная подгруппа в и поэтому перестановочна с . Пусть 
. Тогда 
. Поскольку для некоторого 
, 
, то без ограничения общности можно предположить, что 
. Значит, 
. Если 
, то 
и поэтому
Допустим, что 
. Тогда - 
-группа. Поскольку для некоторого , 
и 
, то 
и поэтому 
. Пусть теперь 
. Пусть 
- силовская 
-подгруппа и 
- силовская -подгруппа в соответственно. Тогда 
. Ясно, что 
для некоторого и 
. Следовательно, 
и поэтому 
. Если 
, то
Если 
, то
В любом случае, -максимальная подгруппа перестановочна с максимальной подгруппой .
Пусть - группа типа (2) или (3). Если 
, то 
. Поскольку 
, то 
- -максимальная подгруппа группы 
. Если 
, то содержится в некоторой максимальной циклической подгруппе 
группы . Так как 
, то - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что
Значит, перестановочна с . Пусть 
. Если , то 
для некоторого . Поскольку 
то
и поэтому перестановочна с . Если , то 
. Из того, что 
, следует, что 
. Значит, перестановочна с .
Пусть теперь 
. Тогда - -группа и, следовательно, для некоторого , . Без ограничения общности можно предположить, что 
. Ясно, что - 
-максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы , содержащая . Допустим, что 
. Если 
, то 
. Предположим, что 
. Тогда - циклическая группа. Поскольку 
, то 
- максимальная подгруппа группы . Из того, что - циклическая подгруппа следует, что 
. Значит, . Поскольку 
, то - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в . Значит, перестановочна с .
Пусть 
. Поскольку - циклическая группа, то 
- нормальная подгруппа в . Следовательно, перестановочна с . Теорема доказана.
Если в группе любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы и 
, то - нильпотентная группа.
Легко видеть, что классы групп теоремы попарно не пересекаются. Отметим, что, как и в случае теоремы, можно построить примеры групп типов (1) - (3).
Заключение
В данной работе дано описание групп, у которых максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами групп; описание ненильпотентных групп, у которых каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами; описание ненильпотентных групп, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами. Доказана -разрешимость и найдены оценки -длины групп, у которых каждая 
-максимальная подгруппа 
-перестановочна со всеми 
-максимальными подгруппами, где 
.
Литература
1.Боровиков М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.
2.Боровиков М.Т. О 
-разрешимости конечной группы // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И. Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7.
3.Белоногов В.А. Конечные разрешимые группы с нильпотентными 
-максимальными подгруппами // Матем. заметки. - 1968. - Т. 3, № 1. - С. 21-32.
4.Беркович Я.Г. Конечные группы с дисперсивными вторыми максимальными подгруппами // Докл. АН СССР. - 1964. - Т. 158, № 5. - С. 1007-1009.
5.Беркович Я.Г. Конечные группы, у которых все 
-е максимальные подгруппы являются обобщенными группами Шмидта // Мат. заметки. - 1969. - Т. 5, № 1. - С. 129-136.
6.Беркович Я.Г. Конечные неразрешимые группы с абелевыми третьими максимальными подгруппами // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. - 1969. - № 7. - С. 10-15.
7.Беркович Я.Г., Пальчик Э.М. О перестановочности подгрупп конечной группы // Сиб. мат. журн. - 1967. - Т. 8, № 4. - С. 741-753.
8.Веньбинь Го, Шам К.П., Скиба А.Н., 
-накрывающие системы подгрупп для классов -сверхразрешимых и -нильпотентных конечных групп // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92.
9.Голубева О.В., Пальчик Э.М. К теореме Виланда // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2001. - № 3. - С. 135-136.
10.Курносенко Н.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентными подгруппами // Вопросы алгебры. Выпуск 12. - 1998. С. 113-122.
11.Пальчик Э.М. О 
-квазинормальных подгруппах // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 11. - С. 967-969.
12.Пальчик Э.М. О группах, все 
-максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.
13.Пальчик Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
