Пусть снова и - группы, введенные в примере, и , где Пусть - канонический эпиморфизм группы на факторгруппу . Пусть - прямое произведение групп и с объединенной факторгруппой (см. лемму Error: Reference source not found). Пусть - силовская -подгруппа группы . Тогда , где и поэтому

, где

Покажем, что . Поскольку и , то . Следовательно, и поэтому . Значит, . Так как и , то и поэтому . Пусть - неединичная подгруппа из . Ясно, что . Пусть . Мы имеем

Значит, и поэтому . Следовательно, - нормальная погруппа в . Таким образом, группа принадлежит типу (5).

Пусть - циклическая группа порядка , где - простое нечетное число. Согласно лемме Error: Reference source not found, . Пусть теперь - произвольный простой делитель числа и - группа порядка в . Обозначим символом полупрямое произведение . Пусть - подгруппа порядка группы . Тогда и поэтому если , то согласно лемме Error: Reference source not found, , что противоречит определению группы . Следовательно, , что влечет . Значит, группа принадлежит типу(6).

Покажем, наконец, что класс групп (7) не пуст. Пусть и - группы нечетных простых порядков и соответственно ( ). Тогда

и поэтому найдется такой простой делитель числа , который одновременно отличен от и . Пусть , где - группа порядка в . Тогда группа принадлежит типу (7).

4. Группы, в которых максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами

В данном разделе дано описание групп, у которых каждая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми ее -максимальными подгруппами.

Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобятся следующие леммы.

Класс всех таких абелевых групп ,что не содержит кубов, является формацией.

Доказательство.

Пусть . И пусть - произвольная нормальная подгруппа группы . Тогда абелева. Так как по определению экспоненты делит и поскольку не содержит кубов, то не содержит кубов. Следовательно, .

Пусть и . Покажем, что

.

Пусть . Тогда , где и . Так как , то по определению экспоненты . Из того, что и не содержат кубов, следует, что не содержит кубов. Поскольку группа изоморфна подгруппе из , то делит , и поэтому не содержит кубов. Так как группа абелева, то . Следовательно, - формация. Лемма доказана.

[4.1]. Пусть , где - формация, описанная в лемме. Если каждая максимальная подгруппа группы перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы , то .

Доказательство. Предположим, что лемма не верна, и пусть - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы группы , факторгруппа .

Пусть - максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Тогда - максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Из того, что по условию подгруппы и перестановочны, мы имеем

Поскольку , то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что .

(2) имеет единственную минимальную нормальную подгруппу для некоторого простого , и где - максимальная подгруппа группы с .

Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы, - разрешимая группа, и поэтому - элементарная абелева -группа для некоторого простого . Так как - насыщенная формация , то ввиду (1), - единственная минимальная нормальная подгруппа группы и . Пусть - максимальная подгруппа группы , не содержащая и . По тождеству Дедекинда, мы имеем . Из того, что абелева, следует, что и поэтому . Это показывает, что , .

(3) Заключительное противоречие.

Ввиду (2), для некоторой максимальной подгруппы группы имеем . Так как , то . Пусть - -максимальная подгруппа группы . Тогда по условию, для каждого . По лемме Error: Reference source not found, и поэтому . Следовательно, . Это означает, что каждая -максимальная подгруппа группы единичная, и следовательно, - простое число для всех максимальных подгруппы группы . Так как для некоторого простого , то - максимальная подгруппа группы . Это означает, что - -максимальная подгруппа группы .

Предположим, что . Тогда в имеется неединичная максимальная подгруппа . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы , и поэтому перестановочна с . Следовательно, , но . Полученное противоречие показывает, что .

Поскольку ввиду (1),

, то - нильпотентная подгруппа.

Из того, что - неединичная нормальная подгруппа в группе , следует, что .

Так как факторгруппа изоморфна подгруппе группы автоморфизмов и группа автоморфизмов группы простого порядка является циклической группой порядка , то абелева. Из того, что и не содержит кубов, следует, что не содержит кубов. Это означает, что . Следовательно, , и поэтому - нильпотентная подгруппа. Таким образом, . Полученное противоречие с выбором группы доказывает лемму.

[4.1]. В примитивной группе каждая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы тогда и только тогда, когда группа имеет вид:

(1) ,

где - группа порядка и - группа порядка , где ;

(2) ,

где - минимальная нормальная подгруппа в порядка и - группа порядка , где ;

(3) ,

где - группа порядка и - группа порядка , где .

(4) ,

где - группа порядка и - группа порядка , где - различные простые делители порядка группы .

Доказательство. Необходимость. Так как ввиду теоремы, группа разрешима, то , где - примитиватор группы и - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , . Ввиду леммы Error: Reference source not found, .

Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы и перестановочны. Следовательно, для любого , - подгруппа группы , и поэтому либо , либо . Ввиду леммы, первый случай не возможен. Следовательно, . Это означает, что для любого . Значит, . Следовательно, в группе все -максимальные подгруппы единичны. Это означает, что либо , либо , либо .

1. Пусть . Если , то группа принадлежит типу (1). Если , то группа принадлежит типу (3).

2. Пусть . Допустим, что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы и перестановочны. Следовательно, . Полученное противоречие показывает, что . В этом случае - группа типа (2).

3. Пусть . Рассуждая как выше, видим, что . Значит, - группа типа (4).

Достаточность очевидна. Лемма доказана.

Поскольку в любой нильпотентной группе максимальная подгруппа нормальна, то все они перестановочны со всеми -максимальными подгруппами группы . Опишем теперь ненильпотентные группы, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подруппами.

[4.2]. В ненильпотентной группе каждая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы тогда и только тогда, когда либо где - различные простые числа и либо - группа типа (2) из теоремы Error: Reference source not found, либо - сверхразрешимая группа одного из следующих типов:

(1) ,

где - группа простого порядка , а - такая бипримарная группа с циклическими силовскими подгруппами, что , где и ;

(2) ,

где - группа простого порядка , - циклическая -группа с ( ) и ;

(3) ,

где - группа простого порядка , - -группа с ( ), и все максимальные подгруппы в , отличные от , цикличны.

Доказательство. Необходимость.

Пусть - группа, в которой каждая максимальная подгруппа перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы .

Поскольку - ненильпотентная группа, то в ней существует максимальная подгруппа , которая не является нормальной в . Тогда . Следовательно, - примитивная группа, которая удовлетворяет условиям леммы Error: Reference source not found.

I. Пусть , где и - простые числа (не обязательно различные). Ввиду леммы Error: Reference source not found, и .

Так как , то содержится в некоторой максимальной подгруппе группы . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Следовательно, для любого подгруппы и перестановочны. Это означает, что . Поскольку , то либо , либо . Ясно, что первый случай не возможен. Следовательно, - единственная максимальная подгруппа группы , и поэтому - примарная циклическая группа. Ввиду произвольного выбора , - примарная циклическая группа.

Пусть . Тогда для некоторого . Пусть - силовская -подгруппа группы , - силовская -подгруппа группы и - силовская -подгруппа группы . Так как

,