151324 (Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты), страница 7

Рассмотрим упрощённую модель в которой не учитывается радиоактивный распад в накрывающем и подстилающем пластах. В этом случае в правых частях уравнений (1.5.51), (1.5.53) будет стоять нуль, граничные условия и условия сопряжения не изменятся. Аналогично, в пространстве изображений равны нулю правые части (2.1.1) и (2.1.3). Математическая постановка соответствующей задачи в пространстве изображений

, z > 1, r >0,

(2.1.31)

, |z| < 1, r >0,

(2.1.32)

, z < – 1, r >0,

(2.1.33)

,

(2.1.34)

,

(2.1.35)

,

(2.1.36)

, , .

(2.1.37)

Ход решения идентичен решению задачи с учётом распада в «кровле» и «подошве».

Учитывая граничные условия (2.1.34) и то, что в нулевом приближении плотность загрязнителя в пористом пласте не зависит от z и является функцией только от r и t, решения уравнений (2.2.31), (2.1.33) можно записать в виде

,

(2.1.38)

.

(2.1.39)

Тогда для следов производных, входящих в (2.1.32)

, .

(2.1.40)

Подставляя найденные значения производных в уравнение (2.1.32), получим

.

(2.1.41)

Решение уравнения (2.1.41) с учётом граничного условия (2.1.36) имеет вид

.

(2.1.42)

Введём обозначение

.

(2.1.43)

Тогда полное решение задачи в пространстве изображений

.

(2.1.44)

,

(2.1.45)

.

(2.1.46)

Для удобства перехода в пространство оригиналов, решения с учётом (2.1.43) запишем в виде

,

(2.1.47)

,

(2.1.48)

.

(2.1.49)

Перейдем в пространство оригиналов, используя формулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]

,

.

(2.1.50)

В нашем случае имеем

.

(2.1.51)

Совершив обратное преобразование Лапласа – Карсона, и перейдя в пространство оригиналов, решение задачи в нулевом приближении представим в виде

(2.1.52)

(2.1.53)

(2.1.54)

Учтём, что наиболее важные физические результаты обусловливаются нулевым приближением асимптотического разложения, первый и последующий коэффициенты определяют «поправки». Кроме того, в силу малости коэффициента диффузии ( 10^-9÷10^-11) распространение загрязнителя в водоупорных пластах в вертикальном направлении ничтожно (по сравнению с конвективном переносом в пористом пласте) и слабо влияет на размеры зоны заражения, поэтому проведём сравнение полученных результатов только для пористого пласта (2.1.28), (2.1.52).

На рис. 2.1 показана зависимость разности между плотностями загрязнителя в пористом пласте без учёта и с учетом радиоактивного распада в водоупорных пластах от координаты r. График 1 соответствует периоду полураспада Т_1/2=100 лет, 2 – 10 лет, 3 – 1 год. Вычисления проведены для времени =30 лет, интенсивность закачки – 100 м³/сут.

Рис. 2.1. Зависимость разности (для нулевого приближения) между плотностями загрязнителя в пористом пласте без учёта и с учетом радиоактивного распада в водоупорных пластах от координаты r при различных постоянных распада 1 – At = 0.1, 2 – 1, 3 – 10. Другие расчётные параметры t = 10, , , Pd = 102

Из рис. 2.2 следует, что возникающая при замене (2.1.28) на (2.1.52) относительная разность , возрастает при увеличении постоянной распада (уменьшении периода полураспада) и для короткоживущих нуклидов (T_1/2  100 сут.) на фронте загрязнителя составляет более 0,4. Однако, абсолютная разность плотностей при этом уменьшается с ростом At и для тех же короткоживущих нуклидов становится ничтожно малой (рис. 2.1). Расчёты приведены для безразмерного времени t = 10, что соответствует размерному времени  30 лет. При уменьшении расчётного времени погрешности также уменьшаются.

Рис. 2.2. Зависимость относительной разности (для нулевого приближения) между плотностями загрязнителя в пористом пласте без учёта и с учетом радиоактивного распада в водоупорных пластах от координаты r при различных постоянных распада 1 – At = 0.1, 2 – 1, 3 – 10. Другие расчётные параметры t = 10, , , Pd = 102

На рис. 2.3 видно, что и сами абсолютные значения плотностей короткоживущих загрязнителей для указанного момента времени на границе зоны загрязнения практически обращаются в ноль. При увеличении периода полураспада нуклида до  30 лет абсолютное значение плотности его на границе зоны загрязнения остаётся весьма значительным (рис. 2.3), но относительная разность между результатами (2.1.28) и (2.1.52) составляет несколько процентов (рис. 2.2). Уменьшение при расчётах коэффициента δ на порядок ( ) приводит к уменьшению абсолютной и относительной разности ещё примерно вдвое.

Рис. 2.3 Зависимость нулевого приближения плотности радиоактивного загрязнителя в пористом пласте от координаты r без учёта распада в окружающих пластах. при различных постоянных распада 1 – At = 0.1, 2 – 1, 3 – 10. Другие расчётные параметры t = 10, , , Pd = 102

Всё это позволяет для практических расчётов пренебречь радиоактивным распадом в водоупорных пластах, что существенно упрощает расчётные формулы. Поэтому в дальнейшем мы и в массо- и в теплообменной задаче будем игнорировать этот распад.

Поскольку вклад радиоактивного распада описывается сомножителем , то можно утверждать, что концентрация радиоактивного загрязнителя уменьшается в е раз за счет распада на расстояниях, определяемых простым соотношением R_e=h = . Отсюда следует, что для короткоживущих изотопов зона загрязнения невелика. С другой стороны, для уменьшения зоны влияния долгоживущих радиоактивных изотопов следует уменьшать скорость фильтрации.

Полученное решение содержит функцию Хевисайда, которая позволяет указать, что плотность радиоактивных изотопов обращается в ноль при r ≥ . Это соотношение позволяет определить радиус зоны радиоактивного заражения

Rp=h = .

(2.1.55)

При Аt = 0 из (2.1.52) – (2.1.54) следуют решения без учета радиоактивного распада

(2.1.56)

(2.1.57)

(2.1.58)

Пренебрежение влиянием массообмена с окружающей средой на плотность примесей в пласте в (2.1.52) – (2.1.54), позволяет получить приближение, которое можно с высокой точностью использовать для расчета тепловых полей в подземных горизонтах

(2.1.59)

(2.1.60)

(2.1.61)

Устремляя δ → 0 в (2.1.59) – (2.1.61), получим так называемое «бездиффузионное приближение»

(2.1.62)

(2.1.63)

(2.1.64)

границы применимости которого обсуждается в 2.3.

2.2. Анализ результатов расчетов в нулевом приближении

На рис.2.4 показаны расчёты зависимости в нулевом приближении плотности радиоактивного загрязнителя от расстояния до оси скважины. С увеличением времени возрастает радиус зоны загрязнения.

Рис 2.4. Зависимость плотности радиоактивных примесей (нулевое приближение) от расстояния до оси скважины для различных моментов времени: 1 – t = 1, 2 – 10, 3 – 100. Другие расчётные параметры At = 0.1, , , Pd = 102

На рис. 2.5 приведены результаты расчётов плотности радиоактивных примесей в нулевом приближении в зависимости от безразмерной пространственной координаты, отнесённой к радиусу зоны загрязнения ( ). Как видно из сопоставления кривых уменьшение концентрации загрязнителя определяется не только диффузионными процессами (кривая 1), но и, в значительной степени, радиоактивным распадом (кривые 2 – 4).

Рис 2.5. Зависимость плотности радиоактивных примесей (нулевое приближение) от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, для различных постоянных распада 1 – At = 0, 2 – 0.01, 3 – 0.1, 4 – 1. Другие расчётные параметры t = 10, , , Pd = 102

Несмотря на то, что обычно вклад диффузионных процессов очень мал, в рассматриваемом случае происходят значительные изменения концентрации на фронте зоны возмущений (кривая 1 на обоих рисунках). Главными причинами этого эффекта являются повышенные градиенты концентрации между пластом и окружающими породами и большие времена закачки, которая осуществляется обычно десятки лет. При постоянных распада At >0.01 становится существенным вклад радиоактивного распада. При At > 0.1 процесс радиоактивного распада является преобладающим и практически полностью определяет распределение концентрации радиоактивных примесей. Отметим, что при больших временах в пласте устанавливается стационарное поле, определяемое соотношением , следующим из (2.1.52).