151324 (Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты), страница 5

(1.5.24)

с условиями сопряжения, граничными и начальными условиями

, ,

(1.5.25)

, ,

(1.5.26)

, , ,

(1.5.27)

,

(1.5.28)

, ,

(1.5.29)

Будем искать решение задачи (1.5.22) – (1.5.29), разлагая значение плотности каждой из областей в ряд по параметру . При этом для данных разложений асимптотические формулы с остаточным членом имеют вид

, , .

(1.5.30)

Решение исходной задачи получается из решения параметризованной задачи при . Подставив выражения (1.5.30) в (1.5.22) – (1.5.29) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения , получим следующую постановку параметризованной задачи

(1.5.31)

(1.5.32)

(1.5.33)

(1.5.34)

, ,

(1.5.35)

,

(1.5.36)

,

(1.5.37)

.

(1.5.38)

Анализ постановки задачи показывает, что условия сопряжения (1.5.34) позволяют связать между собой решения разных приближений в пласте проводимости, “подошве” и “кровле”. Это и определяет возможность “расцепления” получающихся уравнений, содержащих коэффициенты разложения соседних порядков.

1.5.3. Математическая постановка задачи массопереноса в нулевом приближении

Приравнивая коэффициенты при сомножителях (нулевое приближение) в уравнении (1.5.33), получим

,

(1.5.39)

а, следовательно, после интегрирования

.

(1.5.40)

Таким образом, в нулевом приближении плотность загрязнителя является функцией только от r и t. Далее, из условий сопряжения (1.5.34) получаем . Следовательно, в нулевом приближении плотность загрязнителя в каждом вертикальном сечении одинакова по всей высоте несущего пласта .

Приравнивая к нулю коэффициенты при в (1.5.33), получим

.

(1.5.41)

Левую часть этого уравнения, в силу вышеизложенного не зависящую от z, обозначим через :

,

(1.5.42)

тогда

.

(1.5.43)

Интегрируя это уравнение по z, получим

.

(1.5.44)

Повторное интегрирование позволяет представить первый коэффициент разложения в виде квадратного трехчлена относительно z, коэффициенты которого являются функциями от радиальной переменной и времени, но не зависят от z

.

(1.5.45)

Задача сводится к поиску функций , и , не зависящих от z, значения которых определяются через следы производных из внешних областей с помощью процедуры расцепления, описанной ниже.

Подставляя выражения (1.5.44) при z = 1

(1.5.46)

и при z= –1

(1.5.47)

в условия сопряжения (1.5.34) для , найдём два алгебраических уравнения, решая которые, получим для функций и следующие выражения:

,

(1.5.48)

.

(1.5.49)

С учетом (1.5.48) выражение (1.5.42) принимает вид

.

(1.5.50)

(1.5.50) представляет искомое уравнение для определения нулевого приближения плотности примесей в пласте.

Окончательная постановка задачи в нулевом приближении включает также уравнения в покрывающих и подстилающих породах

,

(1.5.51)

,

(1.5.52)

.

(1.5.53)

При этом условия сопряжения, начальные и граничные условия

,

(1.5.54)

,

(1.5.55)

,

(1.5.56)

, , .

(1.5.57)

Выражения (1.5.51) – (1.5.57) представляют смешанную краевую задачу в нулевом приближении. Отметим, что в отличие от исходной задачи, которая представляет задачу сопряжения для уравнений параболического типа, она является смешанной, так как уравнение для пористого пласта не является параболическим. Кроме того, это уравнение содержит следы производных из внешних областей.

1.5.4. Математическая постановка задачи массообмена в первом приближении

Уравнения (1.5.31), (1.5.32) для коэффициентов первого приближения принимают вид

(1.5.58)

.

(1.5.59)

Коэффициенты при в уравнении (1.5.33) дают

.

(1.5.60)

Начальные, граничные условия и условия сопряжения

,

(1.5.61)

, ,

(1.5.62)

, ,

(1.5.63)

.

(1.5.64)

Причем, решение отыскивается в форме квадратного многочлена относительно z (1.5.45), где и задаются выражениями (1.5.48) и (1.5.49), а неизвестно. Для его определения перепишем (1.5.60) в виде

,

(1.5.65)

где оператор

(1.5.66)

введён для более компактной записи получающихся соотношений и удобства преобразований. Отметим, что из (1.5.42) следует

.

(1.5.67)

Учитывая (1.5.45), (1.5.65), а также линейность оператора , получим

.

(1.5.68)

Проинтегрировав последнее выражение по вертикальной координате z, получим выражение производной для второго коэффициента разложения в виде кубического многочлена по вертикальной координате z

,

(1.5.69)

используя которое определим выражения для следов производных на границах сопряжения (1.5.63) через вспомогательные функции, не зависящие от вертикальной координаты z

,

(1.5.70)

.

(1.5.71)

Умножая левую и правую части (1.5.71) на и вычитая полученное из (1.5.70), приходим к уравнению для определения функции , входящей в квадратичное представление первого коэффициента разложения

.

(1.5.72)

Уравнение для определения первого коэффициента разложения получается путем подстановки (1.5.68), (1.5.72), (1.5.48), (1.5.49) в (1.5.60)

(1.5.73)

В задачу для определения первого коэффициента разложения входят также уравнения для окружающей среды

,

(1.5.74)

.

(1.5.75)

Начальные условия, условия сопряжения и граничные условия

,

(1.5.76)

, ,

(1.5.77)

, , ,

(1.5.78)

.

(1.5.79)

Уравнения (1.5.73) – (1.5.79) представляют собой математическую постановку задачи массопереноса для коэффициентов первого приближения.

Как будет показано в процессе решения задачи для первого приближения, условие (1.5.79) является избыточным, и должно быть заменено среднеинтегральным условием, которое получено в следующем пункте.

Такая замена возможна благодаря следующим соображениям. Решение в нулевом приближении, как показано в пункте 1.5.5 описывает средние значения и справедливо для больших и малых времён. Первое приближение является поправкой к нулевому. Эта поправка может быть изменена путём использования видоизменённых граничных условий. Область высокой точности расчётов при этом меняется. Однако, для определения «области высокой точности» необходимо решение задачи для остаточного члена, на основании которого и делается заключение о точности первого приближения.

1.5.5. Дополнительное интегральное условие для первого приближения

Усредним равенство (1.5.15) по z в пределах несущего пласта согласно

.

(1.5.80)

Последовательно для каждого слагаемого

,

(1.5.81)

,

(1.5.82)

(1.5.83)

Окончательно, после усреднения, получим следующую постановку задачи осреднённого по несущему пласту поля плотностей загрязнителя

(1.5.84)