151324 (594679), страница 9
Текст из файла (страница 9)
| | (2.4.22) |
.Подставляя в (2.4.14) выражения (2.4.15) – (2.4.18) и (2.4.20) – (2.4.22), после упрощений получим
| | (2.4.23) |
.Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
| | (2.4.24) |
. Подставляя найденное значение в (2.4.23) и считая, что 
, получим дифференциальное уравнение
| | (2.4.25) |
,решение которого
| | (2.4.26) |
. Из (2.4.24) и (2.4.26) выражение для 
| | (2.4.27) |
. Для нахождения 
воспользуемся дополнительным интегральным условием (1.5.101) которое для коэффициентов разложения первого порядка в пространстве изображений имеет вид
| | (2.4.28) |
. Здесь 
– среднее по z значение 
, определяемое с помощью (2.4.19) стандартным образом:
| | (2.4.29) |
Тогда в пространстве изображений получим
| | (2.4.30) |
,или, с учётом (2.4.15)
| | (2.4.31) |
. Сравнивая с (2.4.27), определим
| | (2.4.32) |
. окончательно для 
имеем в пространстве изображений
| | (2.4.33) |
.Наконец, подставив (2.4.15), (2.4.16) и (2.4.33) в (2.4.19) получим выражение для первого коэффициента в пространстве изображений
| | (2.4.34) |
Скомпонуем последнее выражение удобным образом (учитывая необходимость перехода в пространство оригиналов)
| | (2.4.35) |
Раскрывая 
в соответствии с (2.1.43), перейдем в пространство оригиналов, используя формулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]
,
| | (2.4.36) |
.В нашем случае
| | (2.4.37) |
,| | (2.4.38) |
.Наконец, справедливо следующее соотношение
| | (2.4.39) |
.Воспользовавшись (2.3.36) – (2.3.39), из (2.3.35) получим выражение для первого коэффициента разложения в форме
| | (2.4.40) |
При этом в первом приближении плотность загрязнителя представится как
| | (2.4.41) |
, где 
и 
определяются выражениями (2.1.52) и (2.4.40).
Оценим теперь вклад второго слагаемого в фигурных скобках выражения (2.4.40) по сравнению с первым. Полагая коэффициенты диффузии надстилающего и подстилающего пластов равными, для отношения этих слагаемых получим
| | (2.4.42) |
. Анализ рис. 2.12 позволяет сделать вывод о возможности пренебрежения вторым слагаемым в фигурных скобках (2.4.40) по сравнению с первым для всех практически значимых времён на расстояниях до 0.95Rd. Графики на рис. 2.12 построены для z = 0, но аналогичные результаты получаются и при других z, за исключением точек 
, в которых (2.4.42) обращается в бесконечность.
|
| Рис. 2.12. Зависимость |
от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки 1 – t = 10, 2 – 30, 3 – 100. Графики построены для z = 0. Другие расчётные параметры Pd = 102, 
Однако из рис. 2.13 видно, что и в этом случае (в силу абсолютной малости соответствующего слагаемого) им можно пренебречь для расстояний меньших 0.98Rd. поэтому в дальнейшем при рассмотрении первого коэффициента асимптотического разложения 
будем полагать, что
|
| Рис. 2.13. Зависимость второго слагаемого по раскрытии всех скобок в (2.4.40) от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки 1 – t = 10, 2 – 30, 3 – 100. Графики построены для |
. Другие расчётные параметры Pd = 102, | | (2.4.43) |
Выражение (2.4.43) с высокой степенью точности определяет первый коэффициент модифицированного асимптотического разложения плотности радиоактивного загрязнителя.
2.5. Анализ результатов расчетов в первом приближении
На рис. 2.14 и 2.15 представлены графики зависимости первого коэффициента разложения от расстояния до оси скважины. Вид графиков для z = 0 и z = 1 оказывается похожим, но «опрокинутым». При этом наиболее существенный вклад первого приближения наблюдается на границе зоны заражения.
|
| Рис. 2.14. Зависимость плотности |
радиоактивных примесей для коэффициента первого приближения от расстояния до оси скважины, отнесённого к радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 10 при различных постоянных распада: 1 – At = 0, 2 – 0.1, 3 – 1, 4 – 10. Графики построены для z = 1. Другие расчётные параметры Pd = 102, 
, 
Сравнивая графики, представленные на рис. 2.15 и 2.16, приходим к выводу, что с увеличением времени, прошедшего с момента закачки, вклад уменьшается.
|
| Рис. 2.15. Зависимость плотности |
радиоактивных примесей для коэффициента первого приближения от расстояния до оси скважины, отнесённого к радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 10 при различных постоянных распада: 1 – At = 0, 2 – 0.1, 3 – 1, 4 – 10. Графики построены для z = 0. Другие расчётные параметры Pd = 102, |
| Рис. 2.16. Зависимость плотности |
Об этом же говорит и анализ рис. 2.17, на котором приведена зависимость первого коэффициента плотности радиоактивного загрязнителя от времени закачки на различных расстояниях от оси скважины. Причём, на бóльших расстояниях от оси уменьшение происходит быстрее.
|
| Рис. 2.17. Зависимость плотности |
Однако из рис. 2.18 следует, что для нерадиоактивных примесей имеет большое значение и на бóльших расстояниях от скважины. Следовательно, наблюдавшееся на рис. 2.17 различие в быстроте уменьшения определяется не столько диффузионными характеристиками, сколько радиоактивным распадом.
|
| Рис. 2.18. Зависимость плотности |
, На рис. 2.19 представлена зависимость 
от расстояния до оси скважины, отнесённого к максимальному радиусу загрязнения. Различные кривые соответствуют разным расстояниям вдоль вертикальной координаты в пласте. Графики построены для безразмерного времени t = 3. При этом данное отношение не зависит от параметра At радиоактивного распада. Видно, что для столь незначительного времени на расстояниях 
вклад первого коэффициента приближения является весьма существенным.
|
| Рис. 2.19. Зависимость отношения |
от «относительного расстояния» для различных z: 1 – z = 0, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 1. Графики построены для t = 3. Другие расчётные параметры Pd = 102, Анализ рис. 2.20, определяющего зависимость от расстояния до оси скважины, отнесённого к максимальному радиусу загрязнения, в сравнении с рис. 2.19, позволяет сделать вывод об уменьшении роли с ростом времени закачки. Графики построены для безразмерного времени t = 30, что соответствует размерному времени 100 лет. При этом на расстояниях до 
вклад по сравнению с для горизонтов –0.6 < z < 0.6 весьма мал и составляет 3 – 5%.
|
| Рис. 2.20. Зависимость отношения |
Этот вывод подтверждается и анализом рис. 2.21, на котором представлена зависимость от времени. При увеличении времени закачки уменьшается относительный вклад . Следовательно, при значительных расчётных временах, распределение плотности загрязнителя описывается с высокой степенью точности нулевым приближением.
|
| Рис. 2.21. Зависимость отношения |
На рис. 2.22 представлена картина зависимости от вертикальной координаты. Коэффициенты диффузии надстилающего и подстилающего пластов полагаются одинаковыми. Картина симметрична относительно z = 0. при этом с увеличением расстояния до оси скважины происходит «сглаживание» значений .
|
| Рис. 2.22. Зависимость коэффициента первого приближения |
Рисунок 2.23 показывает зависимость от вертикальной координаты в случае различия коэффициентов диффузии надстилающего и подстилающего пластов. Симметрия относительно z = 0 нарушается, более высокий коэффициент определяет и большее абсолютное значение . С увеличением расстояния до оси скважины происходит «сглаживание» .
Из рис. 2.24 следует, что при малых постоянных распада различие между первым и нулевым приближениями остаётся практически постоянным, в то время, как при больших At уменьшение плотности загрязнителя за счёт распада становится преобладающим и разница между нулевым и первым приближениями уменьшается.
|
| Рис. 2.23. Зависимость коэффициента первого приближения |
, 
, 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
