151324 (594679), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Система (3.4.1) – (3.4.8) и определяет постановку задачи теплообмена в первом приближении. Здесь 
также зависит от плотности загрязнителя, что определяется выражениями для 
, 
.
Для нахождения 
перепишем (3.4.3) в виде
| | (3.4.12) |
,где введён оператор
| | (3.4.13) |
. Учитывая (3.4.9) и (3.4.12), а также линейность оператора 
, получим
| | (3.4.14) |
Проинтегрируем последнее выражение
| | (3.4.15) |
Как видно из (3.4.15), в первом приближении задача теплопереноса в общем случае уже зависит от первого приближения плотности радиоактивного загрязнителя. В силу громоздкости получающихся выражений ограничимся решением этой задачи в общем случае в пространстве изображений (преобразование Лапласа – Карсона).
Перейдём сразу в пространство изображений, воспользовавшись преобразованием Лапласа – Карсона. При этом последнее уравнение принимает вид
| | (3.4.16) |
Причём оператор в пространстве изображений представится как
| | (3.4.17) |
, а 
определяется выражением (2.1.47).
Учитывая условия сопряжения (3.4.4), остающиеся справедливыми и в пространстве изображений, получим из (3.4.16)
| | (3.4.18) |
и
| | (3.4.19) |
Умножая (3.4.18) на 
и вычитая (3.4.19), получим
| | (3.4.20) |
Выразим из (3.4.20) 
| | (3.4.21) |
В пространстве изображений (3.4.9) принимает вид
| | (3.4.22) |
где
| | (3.4.23) |
| | (3.4.24) |
Решения уравнений
| | (3.4.25) |
| | (3.4.26) |
,
,соответствующих (3.4.1), (3.4.2) в пространстве изображений, с учётом условий регулярности и сопряжения, принимают вид
| | (3.4.27) |
| | (3.4.28) |
,
.При этом следы производных из внешних областей представятся как
| | (3.4.29) |
, 
,что позволяет переписать (3.4.21) в виде
| | (3.4.30) |
Из (3.3.9) в пространстве изображений определены граничные значения первого коэффициента
| | (3.4.31) |
| | (3.4.32) |
Подстановка (3.4.31), (3.4.32) в (3.4.30) даёт уравнение для определения 
.
| | (3.4.33) |
Действительно, значения всех величин и выражения для всех переменных, входящих в (3.4.33), за исключением нам известны. При решении этого уравнения появится постоянная интегрирования, значение которой может быть найдено с использованием нелокального интегрального условия 
аналогично нахождению первого коэффициента разложения в задаче массопереноса.
3.5. Сопоставление радиусов зон химического и теплового возмущений
При распространении загрязнителя возникает несколько фронтов, определяемых различными физическими процессами, протекающими в закачиваемой жидкости и скелете. Один из них – тепловой фронт, обусловленный конвективным переносом тепла, другой – определяется теплотой, выделяемой в результате радиоактивного распада. Наконец, из-за сорбции загрязнителя на скелете, возникает зона чистой воды, уширяющаяся с течением времени.
Отличительная особенность предлагаемой модели заключается в том, что она позволяет сопоставить размеры зон теплового, химического и гидродинамического влияния. Это сопоставление и сопутствующие оценки очень важны для практических приложений. Как указывалось выше скорость конвективного переноса примеси 
определяет положение фронта загрязнения Rp подобно тому, как скорость фильтрации 
определяет положение фронта закачиваемой жидкости Rw. Положение фронта закачиваемой жидкости определяется для случая закачки с постоянной скоростью v0‘ в пласт через скважину радиуса r0 согласно (1.3.8) имеет вид
| |
. Для достаточно больших времен τ можно пренебречь 
в подкоренном выражении, тогда вместо (3.3.1) получим
| | (3.5.1) |
.Радиус зоны радиоактивного заражения определяется согласно зависимости (2.1.55) в виде
| Rp= | (3.5.2) |
. Соотношение между скоростями фильтрации 
на входе в пористую среду при r = r0 и конвективного переноса примеси 
в той же точке определяется соотношением (1.3.7)
| | (3.5.3) |
,поэтому для радиуса зоны радиоактивного заражения из (3.3.3) получим
| Rp= | (3.5.4) |
. Если постоянная равновесия Генри 
равна нулю, то размеры зон закачиваемой жидкости и загрязнения совпадают Rw = Rp. При ненулевых значениях константы равновесия Генри ≠ 0 фронт радиоактивного заражения отстает от фронта закачиваемой жидкости. Образуется кольцевая зона очищенной от радиоактивных примесей закачиваемой жидкости Rp < r <Rw, размеры которой растут пропорционально корню из времени закачки 
:
| Rp= | (3.5.5) |
.Наличие такой зоны является благоприятствующим экологическим фактором. Если подбирать для закачки горизонты с высокими значениями постоянной равновесия, то таким способом можно очищать воду от радиоактивных и химических примесей. Такие горизонты могут служить естественными фильтрами, очищающими воду от различных примесей. Нечто аналогичное, видимо, происходит в некоторых родниковых питьевых источниках.
Наряду с отмеченными выше фронтами в задаче возникает фронт термического влияния закачиваемой жидкости, который определяется выражением (3.1.34)
| RT = | (3.5.6) |
. Наличие такого фронта обусловлено величиной скорости конвективного переноса тепла, которая связана со скоростью конвективного переноса примесей на входе в пористую среду 
соотношением
| | (3.5.7) |
.В общем случае скорость конвективного переноса тепла связана со скоростью фильтрации соотношением
| | (3.5.8) |
. Величина скорости конвективного переноса тепла u при 
больше скорости фильтрации v΄. При фильтрации воды с теплоемкостью сw = 4100 Дж/(кг∙К) и плотностью ρw = 1000 кг/м3 в песчанике с пористостью m = 0.2, теплоемкостью сs = 840 Дж/(кг∙К) и плотностью ρs = 2500 кг/м3 отношение скоростей конвективного переноса тепла и фильтрации составит 
. При фильтрации нефти с теплоемкостью со = 2000 Дж/(кг∙К) и плотностью ρо = 850 кг/м3 скорость конвективного переноса тепла больше скорости фильтрации, поскольку их отношение меньше единицы и составляет
.
Скорость конвективного переноса тепла может превышать скорость конвективного переноса примеси. В этом случае фронт термических возмущений опережает фронт радиоактивного загрязнения. Условие, при котором это происходит, имеет вид
| | (3.5.9) |
, 
. Поскольку постоянная Генри представляет отношение плотности примеси в скелете и растворе 
, то условие опережения температурного фронта представится как
| | (3.5.10) |
.Последнее означает, что температурный фронт опережает фронт загрязнения при достаточно большом содержании примеси в скелете, что возможно при высокой адсорбирующей способности скелета. Напомним, что величины со звездочкой означают истинную плотность среды, а без звездочки – плотность примеси в среде. Условие (3.5.9) означает, что отношение плотности примеси в скелете к плотности примеси в растворе должно превышать отношение соответствующих объемных теплоемкостей.
При малой адсорбирующей способности скелета, напротив, температурный фронт отстает от фронта загрязнения, что осуществляется при выполнении условия
| | (3.5.11) |
.В этом случае формируется зона Rp < r < RT, в которой температурное поле определяется влиянием распада радиоактивных примесей. Размеры этой зоны растут со временем согласно зависимости
| | (3.5.12) |
. Приведенные выше зависимости позволяют утверждать, что критические значения коэффициента Генри, когда фронты загрязнения и температурного влияния совпадают, не зависят от пористости. Указанные выше значения теплоемкостей и плотностей позволяют оценить критические значения коэффициента Генри: для воды – 
0.52, для нефти – 1.2.
Отношения соответствующих радиусов определяется соотношениями, следующими из (3.5.1), (3.5.4) и (3.5.6)
| | (3.5.13) |
,.
, 
.На практике величина коэффициента Генри определяется многими факторами и сильно зависит, в том числе, от солесодержания и pH среды, имея общую тенденцию возрастания с увеличением pH и уменьшением солесодержания.
Некоторые типичные значения коэффициентов Генри приведены в табл. 1 (из книги «Охрана подземных вод от радиоактивных загрязнений» Белицкий А.С., Орлова Е.И.)
Таблица 1
| № п/п | Наименование породы | Коэффициент распределения | |||
| Стронций 89Sr | Цезий 137Cs | Рутений 105Ru | Церий 144Ce | ||
| 1 | Песок среднезернистый, четвертичный, древнеаллювиальный | 10 | 700 | 20 | 900 |
| 2 | Песок мелкозернистый, слюдистый, глуаконитовый, верхнеюрский | 12 | 1150 | 20 | 1100 |
| 3 | Песок среднезернистый, аллювиальный | 8 | 760 | 460 | 480 |
| 4 | Песчаник чёрный, мелкозернистый, верхнеюрский с фосфоритами | 6 | 2200 | 35 | 65 |
и в таблице 2 (коэффициент межфазного распределение нуклидов в песчано-глинистых породах) (из книги «Глубинное захоронение жидких радиоактивных отходов» Рыбальченко А.И. и др.)
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
