151324 (594679), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

При этом плотность загрязнителя, входящая в (1.4.27) – (1.4.29), также будет разлагаться по параметру асимптотического разложения , причём это разложение производится независимо от разложения (1.4.26), хотя и по тому же принципу.

1. Математическая постановка задачи теплопереноса в нулевом приближении

Из (1.4.29) для коэффициентов при (нулевое приближение) получим , тогда . Таким образом, в нулевом приближении температура загрязнителя является функцией только от r и t. Из условий сопряжения (1.4.30) . Следовательно, температура загрязнителя в каждом вертикальном сечении одинакова по всей высоте несущего пласта . Приравнивая коэффициенты при к нулю в уравнении (1.4.29), получим

Сумму первых двух слагаемых в правой части этого уравнения, не зависящую от z, обозначим через

Тогда

следовательно,

При z = 1, воспользовавшись (1.4.30)

при z = – 1

Вычитая и складывая два последних уравнения, получим для функций и следующие выражения:

Проинтегрировав (1.4.38), получим

здесь функция, не зависящая от z, значение которой предстоит найти.

Подставив выражение из (1.4.41) в (1.4.36), получим для нулевого приближения уравнение гиперболического типа со следами производных из внешних областей

Окончательная постановка задачи в нулевом приближении наряду с (1.4.44) включает также уравнения для окружающих сред, начальные, граничные условия и условия сопряжения

Последнее слагаемое в правой части уравнения (1.4.44) устанавливает изменение температуры за счёт энергии, выделяющейся при радиоактивном распаде. Отметим, что температурное поле в нулевом приближении определяется не значениями плотностей радиоактивного загрязнителя в точках, а усреднёнными значениями по вертикальной координате в интервале пласта. Как будет показано ниже, усреднённое таким образом значение плотности совпадает с нулевым приближением соответствующей задачи массопереноса (см. пункт 1.5.3).

Для определения в нулевом приближении поля температур в среде, как следует из (1.4.44) – (1.4.50), необходимо задание функции плотности радиоактивного загрязнителя. Постановка этой задачи осуществлена в пункте 1.5, а её решению посвящена глава II.

1. Постановка задачи теплопереноса в первом приближении

Уравнения (1.4.27), (1.4.28) для коэффициентов при (первое приближение) принимают вид

Для коэффициентов при в (1.4.29)

Условия сопряжения, начальные и граничные условия

Решение отыскивается в виде квадратного многочлена относительно z (1.4.43), где и определяются как (1.4.41), (1.4.42), а значение предстоит найти.

Уравнения (1.4.51) – (1.4.58) определяют постановку задачи теплообмена в первом приближении. Здесь также зависит от плотности загрязнителя, что обусловливается выражениями для , .

1.5. Задача массопереноса

1.5.1. Математическая постановка задачи массопереноса и её обезразмеривание

Геометрия задачи массопереноса практически ничем не отличается от температурной задачи и представлена на рис. 1.2.

Математическая постановка задачи массопереноса для всех областей включает уравнение диффузии с учётом радиоактивного распада в покрывающем

и подстилающем

пластах, а также уравнение конвективной диффузии с учётом радиоактивного распада в пористом пласте

При этом граничные условия включают в себя равенства плотностей и потоков растворённого вещества на границах раздела пластов

Плотность загрязнителя в скважине, радиус которой мы считаем малым по сравнению с расстояниями до точки наблюдения, равна , т.е.

В начальный момент времени полагаем плотность загрязнителя равной нулю

Кроме того, на бесконечности выполняются условия регулярности

Перейдём к безразмерным координатам (1.4.8). При этом получим следующую постановку задачи: для покрывающего пласта

для пористого пласта

для подстилающего пласта

При этом во втором слагаемом в левой части уравнения (1.5.9) появляется отношение коэффициента диффузии к коэффициенту температуропроводности

величина которого оказывается порядка ÷ .

Вновь, как и в задаче теплопереноса, последнее слагаемое в левой части уравнения (1.5.10) содержит сомножитель Рd который при существующих объёмах закачки имеет порядок 10², так что конвективная составляющая (вдоль координаты r) для поля концентраций оказывается много значимей, чем диффузионная составляющая. Поэтому в уравнениях (1.5.9) – (1.5.11) пренебрежём молекулярной диффузией вдоль оси r.

Вводя обозначения

выпишем окончательно интересующие нас уравнения:

Условия сопряжения, граничные и начальные условия при этом принимают вид

Уравнения (1.5.14) – (1.5.21) определяет математическую постановку задачи массопереноса.

1.5.2. Разложение задачи массопереноса по асимптотическому параметру

Рассмотрим более общую задачу, получающуюся введением произвольного асимптотического параметра путём формальной замены коэффициента диффузии на частное . В соответствии с принятыми обозначениями это отвечает следующим заменам: , . Задача (1.5.14) – (1.5.16) становится, таким образом, частным случаем (при ) более общей задачи, содержащей параметр асимптотического разложения как в уравнении для пласта, так и в условиях сопряжения:

Характеристики

Список файлов ВКР