151324 (Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты), страница 6

(1.5.85)

.

(1.5.86)

Условия сопряжения, начальные и граничные условия при этом принимают вид

,

(1.5.87)

,

(1.5.88)

, , ,

(1.5.89)

, , .

(1.5.90)

Полученная задача совпадает с задачей (1.5.51) – (1.5.57) для нулевого приближения плотности загрязнителя. В силу единственности решения следует, что .

Аналогичное соотношение получается при усреднении параметризованной задачи (1.5.22) – (1.5.29). Покажем это. Усреднение производных по времени и радиальной координате совпадает с предыдущим

,

(1.5.91)

.

(1.5.92)

Производная по вертикальной координате z содержит дополнительный множитель , который сокращается при использовании условия сопряжения для производных, поэтому в итоге получим выражение, совпадающее с предыдущим

(1.5.93)

Окончательно после усреднения параметризованной задачи получим следующую постановку задачи

(1.5.94)

(1.5.95)

,

(1.5.96)

,

(1.5.97)

,

(1.5.98)

, , ,

(1.5.99)

, , ,

(1.5.100)

которая полностью совпадает с предыдущей и с задачей для нулевого приближения поля плотностей загрязнителя. Совпадение усредненных значений исходной и параметризованной задачи существенно выделяет используемую в данной работе параметризацию от произвольной, которая почти всегда приводит к зависимости усредненных значений от параметра асимптотического разложения.

Совпадение задач для усредненных значений параметризованной и для нулевого приближения, как и выше, в силу единственности решения позволяет утверждать, что . Далее процедура усреднения по z асимптотического представления параметризованной задачи (1.5.30) в пласте на линии r = 0 приводит к следующему равенству

Отсюда с учетом следует, что средние по толщине пласта значения коэффициентов разложения первого и более высоких порядков равны нулю

.

(1.5.101)

Установление равенства нулевого приближения и средних значений исходной и параметризованной задачи имеет принципиальное значение для решения температурной задачи, поскольку входящую в правую часть уравнения (1.4.43) среднюю плотность можно заменить на равное ей нулевое приближение. Это использовано при решении задачи теплопереноса в пункте 3.1.

При решении задачи массопереноса в первом приближении (1.5.73) – (1.5.79), возникает необходимость использования дополнительного интегрального условия (1.5.101), поскольку условие (1.5.79) является избыточным и должно быть заменено (1.5.101). Если потребовать выполнения этого интегрального условия при любых значениях r, то оно также оказывается избыточным. Для построения аналитического решения достаточно заданий интегрального условия на одной поверхности для заданного значения r. Ранее показано, что наилучшим первое приближение является в случае, когда поверхность осреднения совпадает с поверхностью, на которой заданы граничные условия.

1.6. Выводы

В главе I на основе уравнения конвективной диффузии для несжимаемой жидкости с учетом радиоактивного распада и обмена загрязнителя со скелетом, осуществлена постановка термодиффузионной задачи о взаимосвязанных полях концентрации и температуры в глубокозалегающих горизонтах, возникающих при закачке в пористый пласт растворенных радиоактивных веществ. С использованием параметра асимптотического разложения температурная и диффузионная задачи представлены в виде бесконечной последовательности краевых задач для коэффициентов разложения искомого решения в асимптотический ряд. Произведено «расцепление» соответствующей цепочки уравнений и на этой основе осуществлена постановка краевых задач смешанного типа со следами производных из внешних областей для нулевого и первого коэффициентов разложения.

При построении решения задачи для первого коэффициента использовано нелокальное граничное условие, заключающееся в том, что средние значения температуры и плотности примесей по толщине пласта на оси скважины равны нулю.

Глава II. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАССОПЕРЕНОСА В НУЛЕВОМ
И ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИЯХ, СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ

2.1. Решение задачи массопереноса в нулевом приближении

В пространстве изображений Лапласа – Карсона

,

для нулевого приближения вместо (1.5.51) – (1.5.57) получим следующую задачу:

, z > 1, r >0,

(2.1.1)

, |z| < 1, r >0,

(2.1.2)

, z < – 1, r >0,

(2.1.3)

,

(2.1.4)

,

(2.1.5)

,

(2.1.6)

, , .

(2.1.7)

Решение уравнения (2.1.1) имеет вид

.

(2.1.8)

Учитывая второе из граничных условий (2.1.5), получим . Тогда

.

(2.1.9)

Аналогично, для подстилающего пласта в пространстве изображений из (2.1.3) и (2.1.5) получим

.

(2.1.10)

Учитывая граничные условия (2.1.4), а также то, что в нулевом приближении плотность загрязнителя в пористом пласте не зависит от z и является функцией только от r и t, эти решения можно переписать в виде

,

(2.1.11)

.

(2.1.12)

Эти выражения позволяют определить значения следов производных из внешних областей, входящих в уравнение для пласта, через плотность примеси в нем

, .

(2.1.13)

Подставляя найденные значения производных (2.1.11), (2.1.12) в уравнение (2.1.2), соответствующее (1.5.52) в пространстве изображений, получим

.

(2.1.14)

Группируя слагаемые и учитывая, что в последнем уравнении производная берётся только по одной переменной, перепишем (2.1.2) в виде

.

(2.1.15)

Решение уравнения (2.1.15)

.

(2.1.16)

Граничное условие (2.1.6) позволяет получить значение постоянной интегрирования . Окончательно в пространстве изображений в нулевом приближении для пористого пласта получим

.

(2.1.17)

Введём обозначение для выражения, стоящего в квадратных скобках

,

(2.1.18)

при этом

.

(2.1.19)

С учетом (2.1.11) и (2.1.12) полное решение задачи в пространстве изображений представляется как

,

(2.1.20)

,

(2.1.21)

.

(2.1.22)

Для удобства перехода в пространство оригиналов, полученные решения с учётом (2.1.18) представим в форме

,

(2.1.23)

,

(2.1.24)

.

(2.1.25)

Переход в пространство оригиналов осуществим, используя формулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]:

,

где единичная функция Хевисайда

(2.1.26)

(2.1.27)

В нашем случае, совершив обратное преобразование Лапласа – Карсона, и перейдя в пространство оригиналов, решение задачи в нулевом приближении представим в виде

(2.1.28)

(2.1.29)

(2.1.30)

соответственно для пористого, настилающего и подстилающего пластов.

Первый сомножитель в решении (2.1.28) – (2.1.30) описывает уменьшение плотности загрязнителя в результате радиоактивного распада, второй – функция Хевисайда, определяет радиус распространения зоны заражения и третий (выражение в фигурных скобках) учитывает изменение плотности из-за диффузии загрязнителя и радиоактивного распада продиффузирующего нуклида.