151324 (Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты), страница 3

Одним из способов прогнозирования динамики поведения радиоактивных и химических примесей в глубокозалегающих пластах, является исследование их температурных полей. Современные приборы и методики измерения температуры позволяют проводить оперативные измерения с точностью, превосходящей тысячные доли градуса. Температурные измерения в таких условиях можно использовать для контроля продвижения радиоактивной зоны.

Соответствующие температурные аномалии возникают как за счет отличия температуры закачиваемой жидкости от естественной температуры пластов, так и за счет энергии, выделяющейся при распаде радиоактивных веществ.

В результате одного акта радиоактивного распада выделяется энергия  1 МэВ. Согласно действующим в России Нормам радиационной безопасности и санитарным правилам высокоактивными жидкими радиоактивными отходами (РАО) признаются отходы, активность которых > 1 Ки/л. Следовательно, для высокоактивных отходов выделяемая мощность оказывается порядка     5 Вт/м³. Причём, для средне- и долгоживущих нуклидов эта мощность мало меняется на протяжении лет и даже десятилетий. Выделяемая энергия является весьма существенной и приводит к значительному изменению температурного поля.

На рис. 1.1 представлена геометрия задачи в цилиндрической системе координат, ось z которой совпадает с осью скважины. Среда представлена тремя областями с плоскими границами раздела z = ±h. Закачка примесей в область ‑h < z < h производится из скважины радиуса r₀; покрывающий (кровля) и подстилающий (подошва) пласты считаются непроницаемыми; средняя область толщины 2h является пористой; все пласты считаются однородными и анизотропными по теплофизическим свойствам.

Рис. 1.1. Геометрия задачи теплопереноса

Через скважину малого (по сравнению с расстоянием до точки наблюдения) радиуса в горизонтальный бесконечный пласт толщиной закачивается вода с радиоактивным загрязнителем.

В поступающей в пласт жидкости (при ) поддерживаются постоянная температура и концентрация примеси . В общем случае температура и концентрация загрязнителя в пласте изменяются за счёт конвективного переноса вдоль направления , радиальной теплопроводности и диффузии вдоль , теплопроводности и диффузии вдоль , за счёт наличия тепловых источников и источников концентрации (в нашем случае такими источниками является радиоактивный распад загрязнителя).

В окружающих средах имеет место теплопроводность и диффузия вдоль и радиальная теплопроводность и диффузия вдоль . В пласте концентрация примеси , температура – , коэффициент диффузии вдоль равен , коэффициент теплопроводности – , коэффициент радиальной диффузии – , коэффициент радиальной теплопроводности – , в покрывающих пласт породах соответственно – , , , , , , в подстилающих породах – , , , , , . Кроме того, постулируются условия равенства температур и концентраций, а также плотностей тепловых и диффузионных потоков на границах соприкосновения, накладываются начальные и граничные условия. В начальный момент времени везде и в бесконечно удалённых точках всегда концентрации примеси в пласте и в окружающих средах равны нулю.

Математическая постановка задачи теплопереноса для всех областей, таким образом, включает уравнение теплопроводности с учётом радиоактивного распада в покрывающем

(1.4.1)

и подстилающем

(1.4.2)

пластах, а также уравнение конвективного переноса с учётом радиоактивного распада в пористом пласте

(1.4.3)

Сомножитель при во втором слагаемом в левой части уравнения (1.4.3) в развёрнутом виде

.

Условия сопряжения включают в себя равенство температур

,

(1.4.4)

и потоков тепла на границах раздела пластов

.

(1.4.5)

В уравнениях (1.4.1) – (1.4.3) учтено, что плотность радиоактивного нуклида в данной точке пространства определяется суммой плотностей в носителе и в скелете, которые связаны соотношением (1.3.4).

В начальный момент времени температура пластов является естественной невозмущённой температурой Земли на данной глубине. Рассматривая глубины, превышающие порог влияния сезонных температур (100 м), будем считать, что в силу малой величины градиента температурного поля Земли (0.01 К/м) и небольшой толщины пористого пласта (10 м)

, .

(1.4.6)

Температура загрязнителя в скважине, радиус которой мы считаем малым по сравнению с расстоянием до точки наблюдения, равна

.

(1.4.7)

Будем в дальнейшем искать превышение температуры в пластах над естественной температурой, выраженное в единицах геотермической температуры в пористом пласте .

При решении задачи удобно перейти к безразмерным координатам, определяемым соотношениями

, , , , , , , , , , , .

(1.4.8)

Сразу заметим, что в силу (1.3.7)

.

(1.4.9)

Безразмерный параметр At представляет собой отношение времени тепловой релаксации слоёв к среднему времени жизни радиоактивного нуклида. Выражение Pt является аналогом параметра Пекле, поскольку определяется аналогично последнему, но через температуропроводность настилающего, а не несущего пласта. Величина определяет отношение изменения температуры, вызванного «мгновенным» распадом радиоактивного нуклида к разности температур закачиваемой жидкости и естественной геотермической температуры пласта.

Для больших температурное поле определяется в основном энергией радиоактивного распада, для малых – конвективным переносом тепла, обусловленного различием температур закачиваемой жидкости и пласта.

В силу большого значения аналога параметра Пекле (Рt ~  ), в пористом пласте можно пренебречь радиальной кондуктивной теплопроводностью по сравнению с конвективным переносом тепла.

Аналогично, для настилающего и подстилающего пластов изменение радиальной составляющей температурного поля будет в значительной мере определяться конвективным переносом тепла в пористом пласте, что позволяет пренебречь для них вкладом соответствующих радиальных теплопроводностей.

Таким образом, во всех уравнениях, получающихся из (1.4.1) – (1.4.3) исчезнут слагаемые, содержащие и интересующие нас уравнения запишутся в виде (соответственно для настилающего, подстилающего и пористого пластов):

,

(1.4.10)

,

(1.4.11)

,

(1.4.12)

а условия сопряжения, граничные и начальные условия принимают вид

,

(1.4.13)

, ,

(1.4.14)

,

(1.4.15)

, , ,

(1.4.16)

, , .

(1.4.17)

Уравнения и равенства (1.4.10) – (1.4.17) представляют математическую постановку задачи теплопереноса.

1. Разложение задачи теплопереноса по асимптотическому параметру

Рассмотрим более общую задачу, получающуюся введением произвольного асимптотического параметра путем формальной замены на и, соответственно, на , а на . Задача (1.4.10) – (1.4.17) является, таким образом, частным случаем более общей задачи при .

,

(1.4.18)

,

(1.4.19)

,

(1.4.20)

,

(1.4.21)

, ,

(1.4.22)

,

(1.4.23)

, , ,

(1.4.24)

, , .

(1.4.25)

Будем искать решение задачи (1.4.18) – (1.4.25), разлагая каждое в ряд по параметру . При этом асимптотические формулы с остаточным членом для данных разложений имеют вид

, , .

(1.4.26)

Решение исходной задачи будет получено из решения параметризованной задачи при . Подставив (1.4.26) в (1.4.18) – (1.4.25) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения , получим следующую постановку параметризованной задачи (вместе с граничными условиями)

(1.4.27)

(1.4.28)

(1.4.29)

, ,

(1.4.30)