матан лекции по теме ряды, страница 6

Рассмотрим произвольное . Равенства (5) – (8) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных . Поскольку эта система имеет нетривиальное решение  (это означает, что не все  равны 0), ее определитель   должен быть равен 0, т.е. .

Обратная теорема в общем случае неверна. Рассмотрим, например, функции , для которых  и их определитель Вронского  тождественно равен 0.

Однако если , то при любом   получаем , откуда , а при любом  получаем , откуда . Поэтому функции   и  линейно независимы.

Тем не менее, верна следующая важная теорема.

Теорема 6. Если   являются решением уравнения (2) и в некоторой точке , то   линейно зависимы на  (и, следовательно, ).

Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных :  (9). Ее определитель равен . По условию, . Значит, система (9) имеет нетривиальное решение . Рассмотрим функцию . По теореме 1,   является решением уравнения (2). Равенства (9) можно рассматривать как условия задачи Коши, , которая, по теореме 1, имеет единственное решение. Вместе с тем, функция  также удовлетворяет уравнению (2) и условиям (10). Ввиду единственности, . Таким образом, существуют не все равные 0 постоянные   такие, что . Поэтому   - линейно зависимы на . Следовательно, по теореме 5,  на .

16. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

Определение. Любые   линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения -ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Из предыдущих теорем сразу следует еще одна важная теорема.

Теорема 7. Решения   уравнения (2) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского  отличен от 0 хотя бы в одной точке .

Доказательство. Равносильная переформулировка утверждения теоремы – решения   линейно зависимы тогда и только тогда, когда  на . Но это утверждение сразу следует из теорем 5 и 6.

Теорема 8. Для любого линейного однородного дифференциального уравнения (2) существует фундаментальная система его решений.

Доказательство. Построим такую фундаментальную систему решений. Для этого возьмем произвольную точку   и поставим  различных задач Коши: .

По теореме 1 о существовании и единственности у каждой из этих задач имеется решение, и мы обозначим   - решение 1-й задачи,  - решение 2-й задачи, …,  - решение -ной задачи. Мы получили  - решения уравнения (2). Найдем  для этих функций: . Следовательно, по теореме 7, функции  образуют искомую фундаментальную систему решений уравнения (2).

Теорема 9. Пусть   - фундаментальная система решений уравнения (2). Тогда для любого решения   этого уравнения существуют постоянные  такие, что .

Доказательство. Возьмем произвольную точку  и рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных :  (11). Определитель этой системы  не равен 0, т.к.   - фундаментальная система решений. Поэтому у нее существует (и притом единственное) решение . Рассмотрим теперь функцию . По теореме 2 она является решением уравнения (2). Ввиду равенств (11) значения этой функции и ее производных до порядка  включительно в точке   совпадают со значениями  и ее последовательных производных в точке . По теореме 1 о единственности решения задачи Коши , .

Замечание. Теоремы 8 и 9 означают, что размерность векторного пространства решений уравнения (2) равна , а любая фундаментальная система решений представляет собой базис этого пространства.

17. Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции

Теорема 3. Пусть   - решение уравнения  (1). Тогда любое другое решение этого уравнения  имеет вид , где  - решение уравнения  (2), т.е. .

Доказательство. Пусть . Тогда, по лемме 1 (Билет 14), . Таким образом,   есть некоторое решение  однородного уравнения (2).

Обратно, если   и , то  и, следовательно,  удовлетворяет уравнению (1).

Теорема 3 доказана.

Теорема 4. (Принцип суперпозиции решений). Пусть  являются решениями уравнений . Тогда функция  удовлетворяет уравнению .

Доказательство. По следствию леммы 1,   .

Теорема 4 доказана.

Замечание. Эта теорема служит для нахождения решения уравнения  в случае, когда функцию  удается представить в виде , где  - такие функции, что нам известны решения уравнений .

19. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение

Для уравнений   (1), у которых  (2), где  - постоянные величины, существует способ, с помощью которого задачу нахождения фундаментальной системы решений можно свести к задаче нахождения корней некоторого вспомогательного алгебраического уравнения.

Для этого будем искать решения уравнения  в виде . При этом  (3). Подставим полученные величины в уравнение (1):   , или . Поскольку  при всех , из этого уравнения следует, что  (4).

Таким образом, функция   удовлетворяет уравнению (1) тогда и только тогда, когда  удовлетворяет уравнению (4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнением уравнения (1).

Далее мы установим вид фундаментальной системы решений уравнения (1) в зависимости от свойств корней уравнения (4).

Случай 1. Пусть все корни уравнения (4) действительные и различные. Обозначим их   и рассмотрим функции , являющиеся решениями уравнения (1) по доказанному выше. Докажем линейную независимость. Это будет означать, что  - фундаментальная система решений (1). Определитель Вронского этой системы функций равен, с учетом (2)  или, после вынесения из столбцов множителей . Определитель  представляет собой известный определитель Вандермонда. Он равен . Поэтому если все числа  попарно различны, этот определитель не равен 0. Следовательно, как доказано выше (теорема 7 предыдущего параграфа), функции  линейно независимы и составляют искомую фундаментальную систему решений.

2 случай. Все корни  - различные, но среди них есть комплексные числа. Формально  - это снова фундаментальная система решений уравнения, т.к. эти функции линейно независимы (их определитель Вронского, как и в случае 1, отличен от 0). Однако мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами и нам было бы желательно построить фундаментальную систему решений, состоящую из действительных функций. Для этого мы сначала установим следующую важную лемму.

Лемма. Пусть   - линейное однородное дифференциальное уравнение (1) такое, что все постоянные   - действительные числа. Пусть комплексная функция  удовлетворяет этому уравнению. Тогда ему удовлетворяют и функции .

Доказательство. Равенство   означает: , откуда , или . Комплексная величина  равна 0 тогда и только тогда, когда ее действительная часть  и мнимая часть  равны 0, откуда , т.е.   - решения уравнения (1), что и требовалость доказать.

Пусть теперь   - любой комплексный корень уравнения (4). Поскольку (4) имеет действительные коэффициенты, число  также является его корнем. Значит,  - тоже решение уравнения (1).

Далее,   . По лемме,  также являются решениями уравнения (1). Легко видеть, , т.е.   являются линейными комбинациями . Разумеется,  также можно линейно выразить через . Поэтому линейная независимость решений  с остальными решениями уравнения (1) равносильна линейной независимости  с остальными решениями.