матан лекции по теме ряды, страница 2

1.                  ;

2.                  .

Тогда этот ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству: .

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда с номером :  и заметим, что   , т.к. по условию 1 имеем неравенство: . Кроме того, . Все слагаемые в круглых скобках, а также , по условию 1 неотрицательны и, значит, .

Таким образом, последовательность  не убывает и ограничена сверху. Значит, существует предел . Кроме того, .

Осталось доказать, что .  и так как по условию 2 , .

Вернемся к  . Очевидно, что  и . По теореме Лейбница этот ряд сходится.

Теорема. (Признак Абеля). Если ряд  сходится, а числа   образуют монотонную и ограниченную последовательность, то ряд   - сходится.

Без доказательства.

Теорема. (Признак Дирихле). Если частичные суммы ряда , т.е. суммы   ограниченны в совокупности (т.е. ), а последовательность   монотонно стремится к 0, то ряд  сходится.

Без доказательства.

6. Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса

Пусть задана последовательность функций , определенных на множестве .

Определение.   поточечно сходится к  на , если   , т.е. .

Пример. Пусть , . Тогда при   имеем: . При  и . Таким образом, последовательность  поточечно сходится к функции .

Если рассматривать функциональный ряд , составленный из определенных на множестве  функций, то под его поточечной сходимостью понимается поточечная сходимость последовательности его частичных сумм.

Выше мы видим, что поточечный предел последовательности непрерывных функций может оказаться разрывной функцией.

Чтобы избежать подобных неприятностей, рассмотрим более сильное понятие равномерной сходимости.

Определение. Последовательность  равномерно сходится к   при  на множестве , если . Это обозначается так:   на  при .

Равномерная сходимость функционального ряда – это равномерная сходимость последовательности его частичных сумм  к сумме ряда   на . Это равносильно тому, что  на  при , т.е. тому, что   на .

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости последовательности ).  на множестве   .

Без доказательства.

Из этой теоремы сразу следует критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда:   равномерно сходится на   .

Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда). Положим в критерий Коши . Тогда получаем: , т.е. .

Теорема. (Признак Вейерштрасса). Пусть  выполняется неравенство . Пусть, кроме того, ряд   сходится. Тогда ряд  сходится на множестве   абсолютно и равномерно.

Доказательство. Достаточно проверить справедливость критерия Коши, т.е. доказать, что . Но последнее неравенство следует из того, что , а для ряда   выполняется критерий Коши, т.е. .

Примеры использования теоремы.

Пример 1. Ряд   равномерно (и абсолютно) сходится на . Действительно, при   выполнена оценка , а ряд   сходится.

Пример 2.   равномерно и абсолютно сходится на всей числовой прямой, т.к. для всех , а  - сходится

7. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда

Теорема. Пусть   на . Пусть . Тогда .

Доказательство. Требуется доказать, что  функция   непрерывна в точке , т.е. . Зафиксируем произвольное . Ввиду равномерной сходимости . В частности, . По условию, при любом   функция  - непрерывная. Значит, . При выбранных   имеем:   , что и требовалось доказать.

Следствие. Сумма равномерно сходящегося ряда, члены которого являются непрерывными функциями, есть непрерывная функция.

Доказательство. Применим предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда.

Теорема. (почленное интегрирование ряда). Пусть ряд  равномерно сходится к своей сумме  на отрезке   и все . Тогда   .

Доказательство. Обозначим при произвольном , . Тогда  - непрерывная функция и, т.к. по предыдущей теореме  - непрерывная функция,   - также непрерывная функция. Тогда   . Для доказательства теоремы достаточно доказать, что  при , т.к., по определению,   . Но . Поэтому при    и требуемое утверждение доказано.

Замечание. Для функциональных последовательностей эта теорема формулируется следующим образом: Пусть  на . Пусть . Тогда .

Теорема. (о почленном дифференцировании ряда).

Пусть:

1.                  ;

2.                  Ряд  сходится на   (и пусть его сумма обозначена );

3.                  Ряд  равномерно сходится на .

Тогда  или, иными словами, .

Доказательство. Обозначим   - сумму ряда . Тогда   - непрерывная на  функция. Поэтому   существует ее интеграл от  и он, по предыдущей теореме, равен   . Значит,   или .

Замечание. Соответствующая теорема для последовательностей может быть сформулирована так: Пусть . Пусть ,  и пусть , . Тогда , или .

8. Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование

Важный частный случай функциональных рядов представляют собой степенные ряды, т.е. ряды вида   или, в более общем случае, . Поскольку при замене   ряд  переходит в ряд , достаточно рассмотреть эти последние ряды.

Теорема 1. Если степенной ряд  сходится в точке , то он сходится абсолютно для любого значения  такого, что .

Доказательство. Поскольку   - сходится, . Следовательно, . (Действительно, взяв , получим, что при . Тогда в качестве   можно взять наибольшее из конечного набора чисел ). Тогда . Так как , прогрессия  сходится. Значит, по первой теореме о сравнении, сходится ряд , т.е. исходный ряд абсолютно сходится.

Эта теорема позволяет выяснить структуру множества, на котором сходится степенной ряд.

Во-первых, очевидно, что любой степенной ряд сходится в точке . Кроме того, есть ряды, которые сходятся только в этой точке, например, ряд .

Если же ряд сходится в точках, отличных от , то возможны два случая.

В первом из них множество чисел   таких, что ряд сходится в точке , неограничено сверху. Тогда ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой, т.к.   выберем  так, чтобы, во-первых,   и, во-вторых, ряд  сходился. Тогда, по теореме 1, ряд  абсолютно сходится.

Во втором случае множество чисел   таких, что ряд  сходится, ограничено сверху. Обозначим через  точную верхнюю грань этого множества. Число  называется радиусом сходимости ряда. Из определения  следует, что:

1.                  Если , то ряд   абсолютно сходится;

2.                  Если , то ряд   расходится.

В случае, когда ряд сходится на всей числовой прямой , полагают .

В точках   общего утверждения о сходимости сделать нельзя (т.е. бывают ряды, сходящиеся в обеих этих точках, бывают – сходящиеся лишь в одной из них, бывают – расходящиеся в обеих точках. Примеры будут приведены ниже).

Найдем формулы, с помощью которых можно вычислить  - радиус сходимости степенного ряда. Рассмотрим ряд . Применим к его исследованию признак Даламбера. . Если существует , и если , то ряд сходится. Если же , то, начиная с некоторого места,  и общий член   ряда  не стремится к 0, но тогда и общий член  ряда  не стремится к 0 и ряд расходится.

Иными словами, ряд сходится при   и расходится при . Таким образом, число  представляет собой радиус сходимости степенного ряда. (Если , то   при всех  и ряд сходится на всей числовой прямой, что обозначается равенством ).

Дадим другую формулу для радиуса сходимости. Применим к рассматриваемому ряду  признак Коши. . Пусть существует . Тогда, как и выше, при  ряд сходится, а при   - расходится. Поэтому  (при , разумеется, ).

Рассмотрим примеры.

Пример 1. . Ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

Пример 2. . В точках   ряд, очевидно, расходится.

Пример 3. . В точке  сходится по теореме Лейбница. В точке  гармонический ряд   расходится.