матан лекции по теме ряды, страница 3

Пример 4. . В точках   получается условно сходящийся ряд .

Пример 5. . . В точках   имеем ряд , который абсолютно сходится.

Теорема. Степенной ряд представляет собой функцию, непрерывную на , где  - радиус сходимости ряда.

Доказательство.

Лемма. Пусть . Тогда  сходится на множестве   абсолютно и равномерно.

Доказательство. Так как , ряд  сходится. Так как , можно применить теорему Вейерштрасса, из которой и следует утверждение леммы.

Замечание. Лемма отнюдь не утверждает равномерной сходимости степенного ряда на . Да это, вообще говоря, и неверно. Например, прогрессия   сходится на  неравномерно. Однако этот ряд сходится равномерно на любом .

Пусть теперь , т.е. . Выберем   так, чтобы . Тогда, по доказанной лемме, ряд сходится на  абсолютно и равномерно. Поскольку все функции  - непрерывные, сумма ряда есть непрерывная на  функция. Значит, эта функция непрерывна и в выбранной, произвольной точке  интервала .

Следствие. (Единственность степенного ряда). Пусть ,  и в некоторой окрестности . Тогда .

Доказательство. При   получаем: . Поэтому . При . В правой и левой частях стоят степенные ряды, а они, по-доказанному, есть непрерывные функции, поэтому равенство сохраняется при , откуда  и т.д. (Отметим, что здесь существенно использована непрерывность ряда в точке ).

Сформулируем без доказательства еще одну важную теорему.

Теорема. (Абель). Если ряд , имеющий сумму , сходится (хотя бы неабсолютно) при , то  (т.е. сумма ряда непрерывна слева).

Теорема. Для любого   .

Доказательство. Пусть   удовлетворяет неравенствам . Тогда степенной ряд сходится равномерно на  и его можно почленно проинтегрировать. Кроме того, . Теорема доказана.

Теорема. Для любого   .

Доказательство. Выберем   так, чтобы . По определению , ряд  сходится. Поэтому   (см. доказательство теоремы 1): . Рассмотрим величину   . По признаку Даламбера, ряд  сходится, т.к. . Значит, мы оценили члены ряда   при  членами сходящегося ряда . Применяя теорему Вейерштрасса на , получаем, что этот ряд равномерно сходится. Следовательно, почленное дифференцирование обосновано на отрезке , а значит, и в точке . Ввиду произвольности точки , теорема доказана.

Важное замечание. Из доказанных теорем вытекает, что при интегрировании и дифференцировании радиус сходимости не уменьшается. Но увеличиться он также не может. Если бы, например, он увеличился и стал равен  при интегрировании, мы продифференцировали бы этот полученный при интегрировании ряд и получили бы с одной стороны, ряд, совпадающий с исходным, а с другой стороны, имеющий радиус сходимости не меньший, чем  (по доказанному).

Итак, радиус сходимости степенного ряда не меняется при почленном интегрировании и дифференцировании.

Однако поведение в концевых точках  может меняться. Например, ряд   сходится на . При этом ряд , получающийся из исходного дифференцированием, сходится только на , а прогрессия , получающаяся при дифференцировании ряда  (сходящегося на ), сходится на .

Рассмотрим теперь функцию , представляемую степенным рядом в области его сходимости. Очевидно, . Далее, последовательно применяем теорему о почленном дифференцировании ряда. , откуда . , откуда . ,  и т.д. .

Следовательно, при всех   . Таким образом, . Это можно сформулировать так: степенной ряд, сходящийся к , представляет собой ряд Тейлора для своей суммы .

Если  имеет производные произвольного порядка в точке , то можно образовать соответствующий ей ряд Тейлора: .

Важное замечание. Не всегда этот ряд сходится к самой функции . Например, нетрудно доказать, что функция  имеет производные произвольного порядка в точке  и все они равны 0, т.е. . Ряд Тейлора этой функции тождественно равен 0 и не совпадает с .

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы ряд Тейлора функции  сходился к самой функции , можно сформулировать так: остаток  должен стремиться к 0 при .

9. Разложение элементарных функций в степенные ряды

Разложение .

Лемма. Если для любого отрезка  при любом , то .

Доказательство. Для произвольного  выберем   так, чтобы . Применим к   формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: , где . По условию,  и . По признаку Даламбера ряд с членами  сходится ( ). Поэтому его общий член   стремится к 0, значит и  при . Ввиду произвольности  получаем, что .

Для получения разложения   заметим, что , и для любого отрезка   . Поэтому лемма применима с , и мы получаем: .

Для нахождения разложения   и  учтем, что    и в лемме можно положить . Поэтому  

Разложения для   позволяет нам вывести очень важные для дальнейшего формулы Эйлера. Сначала дадим необходимые определения.

Если члены ряда   - комплексные числа ( ), то сходимость ряда   означает, что одновременно сходятся ряды  и . Абсолютная сходимость ряда , по определению, есть сходимость ряда , т.е. ряда .

Очевидные неравенства  показывают, что абсолютная сходимость ряда  равносильна одновременной абсолютной сходимости рядов ,   и абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами обладают всеми свойствами абсолютно сходящихся рядов с действительными членами.

Подставим в разложение для   вместо  величину . Тогда (пока формально) получим: . Группируя действительные и мнимые слагаемые, получаем: .

Для обоснования законности наших действий заметим, что ряд , как доказано выше, абсолютно сходится, поэтому в нем можно переставить слагаемые (в частности так, как это сделано выше), и сумма его сохранится. Упомянем, что и для .

Если в разложение для   подставить вместо  число , то получим: . Поэтому из двух полученных формул следует, что . Кроме того, для любого комплексного числа .

Разложение .

Используем равенство: . Разложим   в ряд как прогрессию при . . Тогда, интегрируя это разложение, получим: . Это равенство справедливо при . Кроме того, т.к. ряд  сходится по теореме Лейбница, равенство сохранится и при .

Разложение .

Используем равенство: . Далее, как и выше, при   . Поэтому, при   . Кроме того, ряд  сходится. Значит, написанное выше разложение имеет место и при .

Разложение .

Если обозначить , то . Поэтому . Это разложение верно для всех , где  - радиус сходимости. Для нахождения  используем формулу . Кроме того, без доказательства, отметим, что при  разложение справедливо и при , а при  - для .

В заключение приведем несколько полезных следствий из разложения .

Следствие 1. Легко видеть, . Поэтому  при . Полагая , получаем, что  и . Этим разложением можно воспользоваться при вычислении логарифмов и при доказательстве формулы Стирлинга.

Следствие 2. Формула Стирлинга.

Приведем эту формулу без доказательства. .

10. Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости

Понятие об ортогональных системах функций. Начнем с определения ортогональных функций. Функции   называются ортогональными на , если .

Термин “ортогональность” требует некоторых пояснений. Функции на отрезке   образуют (бесконечномерное) векторное пространство (сумма функций и произведение функции на число – это снова функция). Рассмотрим для интегрируемых функций величину   (1) и назовем нормой . Разумеется, это билинейная симметричная функция:

1.                  ;

2.                  ;

3.                  .

4.                  Кроме того, если рассматривать только непрерывные функции, из равенства   следует, что  на .

Действительно, если бы существовала точка  такая, что , то, ввиду непрерывности  существовало бы   такое, что при  для функции   было бы справедливо неравенство . Но тогда  .

Поэтому для непрерывных функций   величина (1) представляет собой скалярное произведение.

Если рассмотреть более широкий класс, чем непрерывные функции, то свойство 4 уже не имеет места. Например, для отличной от тождественного нуля функции  на   выполняется равенство .

Однако, если   - кусочная непрерывная функция, то можно доказать, что из равенства  следует, что   равна 0 всюду, кроме конечного числа точек, где она имеет устранимый разрыв.

Таким образом, величина (1) по своим свойствам близка к скалярному произведению.

Система функций   - ортогональная на , если  при . Система функций называется ортонормированной на , если .