матан лекции по теме ряды

1. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов

Пусть   - последовательность чисел. Рассмотрим величины   (1).

Определение. Если существует , то говорят, что сходится бесконечный ряд  (другое обозначение ) (2) и его сумма равна .

Если же   не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) расходится. Величины  называются частичными суммами ряда. Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится  существует предел его частичных сумм.

Пример.  (геометрическая прогрессия). Из элементарной алгебры:   . Если , то  при  и , т.е. ряд сходится. Если , то   при  и ряд расходится. Если , то ряд имеет вид .  и . Если , то . Такая последовательность не имеет предела, так как у нее есть два различных предела ( и 0), а значит общий предел не существует.

Определение. С бесконечным рядом (2) связаны ряды вида , называемые остатками ряда .

Утверждение. Ряд (2) сходится    остаток  - сходится.

Доказательство.

 сходится  сходится . Но  - это и есть исходный ряд.

. Ряд сходится  существует . Но  частичная сумма   ряда  имеет вид . Величина   не зависит от . Кроме того,   при . Поэтому существует . Утверждение доказано.

Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится лишь сумма ряда.

Теорема.  (1).

Примечание. Поскольку    (2), неравенство (1) можно заменить на неравенство .

Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда).

. Действительно, при  получаем неравенство , выполняющееся . Это значит, что . Согласно этому следствию, мы получаем новое доказательство того, что ряд расходится при .

Важный пример, показывающий, что необходимый признак сходимости отнюдь не является достаточным.

Пример. Гармонический ряд . , т.е. общий член стремится к 0. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Коши. Следует доказать, что .

В качестве   выберем число . Берем любое   и любое . Пусть . Тогда  .

Теорема. Пусть сходятся ряды , и   - постоянная величина. Тогда сходятся ряды .

Доказательство. Обозначая частичные суммы  ,  получим, что частичные суммы рядов  равны соответственно   ,  и . Эти величины имеют пределы  , , . Теорема доказана.

3. Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда  

Теорема. Пусть   - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд  и интеграл   либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Ввиду монотонности при всех  выполняются неравенства . Интегрируя, получаем . Тогда , или . Поэтому если  сходится, то . Тогда    и ,   ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное   выберем  так, чтобы . Тогда . Значит,   сходится.

Геометрическая иллюстрация теоремы.

 - площадь под графиком  на отрезке от 1 до .  - площадь “верхней лестницы”, расположенной над графиком и   - площадь “нижней лестницы”, под графиком.

Пусть ряд и интеграл сходятся. Тогда остаток ряда .

Теорема. Сходимость ряда .

Ряду  соответствует функция .  сходится при  и расходится при . По доказанной теореме, ряд сходится при  и расходится при .

2. Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса

Если известно, что все члены ряда  имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем в общем случае. Это связано с простым критерием сходимости для таких рядов. Для простоты предположим, что все .

Теорема. (Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Ряд  сходится .

Доказательство.

. Пусть . Тогда   при всех .

. Пусть . Поскольку , последовательность   возрастает и, по условию, ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса (см. 1-ый семестр), она имеет предел, то есть ряд сходится.

Простые следствия из этого критерия – очень полезные теоремы сравнения.

Теорема 1. Пусть для всех  и пусть ряд   - сходится. Тогда сходится ряд .

Доказательство. Очевидны неравенства . По условию   - сходится. Значит, по приведенному выше критерию, . Но тогда и  и, значит, ряд   - сходится.

Примечание 1. Эта теорема может быть сформулирована и так: Пусть для всех   и ряд  - расходится, тогда расходится и ряд . Действительно, если бы этот ряд сходился, то первой теореме должен был бы сходиться и ряд .

Примечание 2. Теорема 1 справедлива и в случае, когда неравенство   выполняется начиная с некоторого номера .

Теорема 2. Пусть   для всех  и . Тогда либо оба ряда  и   сходятся, либо они оба расходятся. (Т.е. не может быть так, что один из них сходится, а другой расходится).

Доказательство. . Выберем . Тогда  (т.к. )  при .

Если ряд   – сходится, то сходится и ряд  (по примечанию 2 к теореме 1). Тогда, взяв , получим, что и ряд , т.е. ряд  – сходится.

Если ряд   – сходится, то сходится и ряд  и, следовательно, сходится ряд .

Теорема доказана.

Пример применения теоремы 2. Ряд  сходится, т.к.  при  и ряд  – сходится.

Теорема. (Признак сходимости Коши). Пусть  и при достаточно больших   . Тогда ряд  сходится. Если же при   , то он расходится.

Доказательство. Неравенство  при  равносильно неравенству . Так как , ряд  – сходится. По теореме 1 из предыдущего параграфа ряд  также сходится.

Если же , то и  и равенство   невозможно. Т.о. необходимый признак сходимости не выполняется и ряд расходится.

В предельной форме эта теорема выглядит так:

Теорема. Пусть существует . Тогда если   – ряд сходится,  – ряд расходится,   – признак неприменим.

Доказательство. Пусть . Выберем  так, чтобы   (т.е. ). Тогда при   , т.е. . Применяя предыдущую теорему получаем, что ряд сходится.

Если же , то выберем  так, что   (т.е. ). Тогда . Вновь по предыдущей теореме ряд расходится.

Теорема. (Признак сходимости Даламбера). Пусть при всех   , где . Тогда ряд сходится. Если же при   , то ряд расходится.

Доказательство. Из условий теоремы следует   . Иными словами,  и по первой теореме сравнения ряд сходится.

Если , то  при  и ряд расходится.

В предельной форме этот признак выглядит так:

Теорема. Если существует , то при   ряд сходится, при  - расходится, а при   признак неприменим.

Доказательство. При   выбираем  так, чтобы . Пусть  выбрано так, чтобы при   , т.е.  и , . По предыдущей теореме ряд сходится. Если же , то выберем   так, что . Тогда при    и ряд расходится.

Признаки Коши и Даламбера удобны, но слабоваты. Например, для рядов  и :  при ,  при , т.е. признак Коши не применим. Признак Даламбера тем более неприменим, т.к. , .

Однако мы знаем, что гармонический ряд расходится, а для второго ряда легко подсчитать частичную сумму:  и  при . (Здесь использовано тождество ), т.е. ряд сходится.

Теорема. (признак Гаусса). Пусть  и , .

Эту теорему оставим без доказательства.

В применении к ряду   она дает: ,  - ряд расходится. Для ряда  имеем: ,  - ряд сходится.

4. Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Определение. Абсолютно сходящимся рядом называется сходящийся ряд , для которого сходится и ряд .

Легко доказать, что из сходимости ряда  вытекает сходимость ряда . По критерию Коши, примененному к , получаем:   . Из полученного неравенства следует, что  и для исходного ряда также выполнен критерий Коши, следовательно он сходится.

Обозначим , т.е. , . Очевидны равенства: . Рассмотрим ряды   и . Если они сходятся, то сходится и ряд , т.е. ряд абсолютно сходится. Если же сходятся ряды , то, т.к. , ряды   и  тоже сходятся. Таким образом, для абсолютной сходимости необходима и достаточна сходимость рядов   и .

5. Условная сходимость. Теорема Лейбница

Существуют также условно сходящиеся ряды. Простейшим примером служит знакочередующийся ряд . Он не является абсолютно сходящимся, т.к. ряд  расходится.

Теорема. (Лейбниц). Пусть для ряда  выполнены условия: