матан лекции по теме ряды (1082862), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Рассмотрим произвольное . Равенства (5) – (8) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных
. Поскольку эта система имеет нетривиальное решение
(это означает, что не все
равны 0), ее определитель
должен быть равен 0, т.е.
.
Обратная теорема в общем случае неверна. Рассмотрим, например, функции , для которых
и их определитель Вронского
тождественно равен 0.
Однако если , то при любом
получаем
, откуда
, а при любом
получаем
, откуда
. Поэтому функции
и
линейно независимы.
Тем не менее, верна следующая важная теорема.
Теорема 6. Если являются решением уравнения (2) и в некоторой точке
, то
линейно зависимы на
(и, следовательно,
).
Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных :
(9). Ее определитель равен
. По условию,
. Значит, система (9) имеет нетривиальное решение
. Рассмотрим функцию
. По теореме 1,
является решением уравнения (2). Равенства (9) можно рассматривать как условия задачи Коши,
, которая, по теореме 1, имеет единственное решение. Вместе с тем, функция
также удовлетворяет уравнению (2) и условиям (10). Ввиду единственности,
. Таким образом, существуют не все равные 0 постоянные
такие, что
. Поэтому
- линейно зависимы на
. Следовательно, по теореме 5,
на
.
16. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
Определение. Любые линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения
-ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Из предыдущих теорем сразу следует еще одна важная теорема.
Теорема 7. Решения уравнения (2) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского
отличен от 0 хотя бы в одной точке
.
Доказательство. Равносильная переформулировка утверждения теоремы – решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда
на
. Но это утверждение сразу следует из теорем 5 и 6.
Теорема 8. Для любого линейного однородного дифференциального уравнения (2) существует фундаментальная система его решений.
Доказательство. Построим такую фундаментальную систему решений. Для этого возьмем произвольную точку и поставим
различных задач Коши:
.
По теореме 1 о существовании и единственности у каждой из этих задач имеется решение, и мы обозначим - решение 1-й задачи,
- решение 2-й задачи, …,
- решение
-ной задачи. Мы получили
- решения уравнения (2). Найдем
для этих функций:
. Следовательно, по теореме 7, функции
образуют искомую фундаментальную систему решений уравнения (2).
Теорема 9. Пусть - фундаментальная система решений уравнения (2). Тогда для любого решения
этого уравнения существуют постоянные
такие, что
.
Доказательство. Возьмем произвольную точку и рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных
:
(11). Определитель этой системы
не равен 0, т.к.
- фундаментальная система решений. Поэтому у нее существует (и притом единственное) решение
. Рассмотрим теперь функцию
. По теореме 2 она является решением уравнения (2). Ввиду равенств (11) значения этой функции и ее производных до порядка
включительно в точке
совпадают со значениями
и ее последовательных производных в точке
. По теореме 1 о единственности решения задачи Коши
,
.
Замечание. Теоремы 8 и 9 означают, что размерность векторного пространства решений уравнения (2) равна , а любая фундаментальная система решений представляет собой базис этого пространства.
17. Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции
Теорема 3. Пусть - решение уравнения
(1). Тогда любое другое решение этого уравнения
имеет вид
, где
- решение уравнения
(2), т.е.
.
Доказательство. Пусть . Тогда, по лемме 1 (Билет 14),
. Таким образом,
есть некоторое решение
однородного уравнения (2).
Обратно, если и
, то
и, следовательно,
удовлетворяет уравнению (1).
Теорема 3 доказана.
Теорема 4. (Принцип суперпозиции решений). Пусть являются решениями уравнений
. Тогда функция
удовлетворяет уравнению
.
Доказательство. По следствию леммы 1,
.
Теорема 4 доказана.
Замечание. Эта теорема служит для нахождения решения уравнения в случае, когда функцию
удается представить в виде
, где
- такие функции, что нам известны решения уравнений
.
19. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение
Для уравнений (1), у которых
(2), где
- постоянные величины, существует способ, с помощью которого задачу нахождения фундаментальной системы решений можно свести к задаче нахождения корней некоторого вспомогательного алгебраического уравнения.
Для этого будем искать решения уравнения в виде
. При этом
(3). Подставим полученные величины в уравнение (1):
, или
. Поскольку
при всех
, из этого уравнения следует, что
(4).
Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1) тогда и только тогда, когда
удовлетворяет уравнению (4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнением уравнения (1).
Далее мы установим вид фундаментальной системы решений уравнения (1) в зависимости от свойств корней уравнения (4).
Случай 1. Пусть все корни уравнения (4) действительные и различные. Обозначим их и рассмотрим функции
, являющиеся решениями уравнения (1) по доказанному выше. Докажем линейную независимость. Это будет означать, что
- фундаментальная система решений (1). Определитель Вронского этой системы функций равен, с учетом (2)
или, после вынесения из столбцов множителей
. Определитель
представляет собой известный определитель Вандермонда. Он равен
. Поэтому если все числа
попарно различны, этот определитель не равен 0. Следовательно, как доказано выше (теорема 7 предыдущего параграфа), функции
линейно независимы и составляют искомую фундаментальную систему решений.
2 случай. Все корни - различные, но среди них есть комплексные числа. Формально
- это снова фундаментальная система решений уравнения, т.к. эти функции линейно независимы (их определитель Вронского, как и в случае 1, отличен от 0). Однако мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами и нам было бы желательно построить фундаментальную систему решений, состоящую из действительных функций. Для этого мы сначала установим следующую важную лемму.
Лемма. Пусть - линейное однородное дифференциальное уравнение (1) такое, что все постоянные
- действительные числа. Пусть комплексная функция
удовлетворяет этому уравнению. Тогда ему удовлетворяют и функции
.
Доказательство. Равенство означает:
, откуда
, или
. Комплексная величина
равна 0 тогда и только тогда, когда ее действительная часть
и мнимая часть
равны 0, откуда
, т.е.
- решения уравнения (1), что и требовалость доказать.
Пусть теперь - любой комплексный корень уравнения (4). Поскольку (4) имеет действительные коэффициенты, число
также является его корнем. Значит,
- тоже решение уравнения (1).
Далее,
. По лемме,
также являются решениями уравнения (1). Легко видеть,
, т.е.
являются линейными комбинациями
. Разумеется,
также можно линейно выразить через
. Поэтому линейная независимость решений
с остальными решениями уравнения (1) равносильна линейной независимости
с остальными решениями.