матан лекции по теме ряды (1082862)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов

Пусть - последовательность чисел. Рассмотрим величины (1).

Определение. Если существует , то говорят, что сходится бесконечный ряд (другое обозначение ) (2) и его сумма равна .

Если же не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) расходится. Величины называются частичными суммами ряда. Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится  существует предел его частичных сумм.

Пример. (геометрическая прогрессия). Из элементарной алгебры: . Если , то при и , т.е. ряд сходится. Если , то при и ряд расходится. Если , то ряд имеет вид . и . Если , то . Такая последовательность не имеет предела, так как у нее есть два различных предела ( и 0), а значит общий предел не существует.

Определение. С бесконечным рядом (2) связаны ряды вида , называемые остатками ряда .

Утверждение. Ряд (2) сходится  остаток - сходится.

Доказательство.

сходится  сходится . Но - это и есть исходный ряд.

. Ряд сходится  существует . Но частичная сумма ряда имеет вид . Величина не зависит от . Кроме того, при . Поэтому существует . Утверждение доказано.

Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится лишь сумма ряда.

Теорема. (1).

Примечание. Поскольку (2), неравенство (1) можно заменить на неравенство .

Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда).

. Действительно, при получаем неравенство , выполняющееся . Это значит, что . Согласно этому следствию, мы получаем новое доказательство того, что ряд расходится при .

Важный пример, показывающий, что необходимый признак сходимости отнюдь не является достаточным.

Пример. Гармонический ряд . , т.е. общий член стремится к 0. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Коши. Следует доказать, что .

В качестве выберем число . Берем любое и любое . Пусть . Тогда .

Теорема. Пусть сходятся ряды , и - постоянная величина. Тогда сходятся ряды .

Доказательство. Обозначая частичные суммы , получим, что частичные суммы рядов равны соответственно , и . Эти величины имеют пределы , , . Теорема доказана.

3. Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда

Теорема. Пусть - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд и интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Ввиду монотонности при всех выполняются неравенства . Интегрируя, получаем . Тогда , или . Поэтому если сходится, то . Тогда и , ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное выберем так, чтобы . Тогда . Значит, сходится.

Геометрическая иллюстрация теоремы.

- площадь под графиком на отрезке от 1 до . - площадь “верхней лестницы”, расположенной над графиком и - площадь “нижней лестницы”, под графиком.

Пусть ряд и интеграл сходятся. Тогда остаток ряда .

Теорема. Сходимость ряда .

Ряду соответствует функция . сходится при и расходится при . По доказанной теореме, ряд сходится при и расходится при .

2. Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса

Если известно, что все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем в общем случае. Это связано с простым критерием сходимости для таких рядов. Для простоты предположим, что все .

Теорема. (Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Ряд сходится .

Доказательство.

. Пусть . Тогда при всех .

. Пусть . Поскольку , последовательность возрастает и, по условию, ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса (см. 1-ый семестр), она имеет предел, то есть ряд сходится.

Простые следствия из этого критерия – очень полезные теоремы сравнения.

Теорема 1. Пусть для всех и пусть ряд - сходится. Тогда сходится ряд .

Доказательство. Очевидны неравенства . По условию - сходится. Значит, по приведенному выше критерию, . Но тогда и и, значит, ряд - сходится.

Примечание 1. Эта теорема может быть сформулирована и так: Пусть для всех и ряд - расходится, тогда расходится и ряд . Действительно, если бы этот ряд сходился, то первой теореме должен был бы сходиться и ряд .

Примечание 2. Теорема 1 справедлива и в случае, когда неравенство выполняется начиная с некоторого номера .

Теорема 2. Пусть для всех и . Тогда либо оба ряда и сходятся, либо они оба расходятся. (Т.е. не может быть так, что один из них сходится, а другой расходится).

Доказательство. . Выберем . Тогда (т.к. ) при .

Если ряд – сходится, то сходится и ряд (по примечанию 2 к теореме 1). Тогда, взяв , получим, что и ряд , т.е. ряд – сходится.

Если ряд – сходится, то сходится и ряд и, следовательно, сходится ряд .

Теорема доказана.

Пример применения теоремы 2. Ряд сходится, т.к. при и ряд – сходится.

Теорема. (Признак сходимости Коши). Пусть и при достаточно больших . Тогда ряд сходится. Если же при , то он расходится.

Доказательство. Неравенство при равносильно неравенству . Так как , ряд – сходится. По теореме 1 из предыдущего параграфа ряд также сходится.

Если же , то и и равенство невозможно. Т.о. необходимый признак сходимости не выполняется и ряд расходится.

В предельной форме эта теорема выглядит так:

Теорема. Пусть существует . Тогда если – ряд сходится, – ряд расходится, – признак неприменим.

Доказательство. Пусть . Выберем так, чтобы (т.е. ). Тогда при , т.е. . Применяя предыдущую теорему получаем, что ряд сходится.

Если же , то выберем так, что (т.е. ). Тогда . Вновь по предыдущей теореме ряд расходится.

Теорема. (Признак сходимости Даламбера). Пусть при всех , где . Тогда ряд сходится. Если же при , то ряд расходится.

Доказательство. Из условий теоремы следует . Иными словами, и по первой теореме сравнения ряд сходится.

Если , то при и ряд расходится.

В предельной форме этот признак выглядит так:

Теорема. Если существует , то при ряд сходится, при - расходится, а при признак неприменим.

Доказательство. При выбираем так, чтобы . Пусть выбрано так, чтобы при , т.е. и , . По предыдущей теореме ряд сходится. Если же , то выберем так, что . Тогда при и ряд расходится.

Признаки Коши и Даламбера удобны, но слабоваты. Например, для рядов и : при , при , т.е. признак Коши не применим. Признак Даламбера тем более неприменим, т.к. , .

Однако мы знаем, что гармонический ряд расходится, а для второго ряда легко подсчитать частичную сумму: и при . (Здесь использовано тождество ), т.е. ряд сходится.

Теорема. (признак Гаусса). Пусть и , .

Тогда:

Если - ряд сходится, Если - ряд расходится, Если и - ряд сходится, Если и - ряд расходится.

Эту теорему оставим без доказательства.

В применении к ряду она дает: , - ряд расходится. Для ряда имеем: , - ряд сходится.

4. Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Определение. Абсолютно сходящимся рядом называется сходящийся ряд , для которого сходится и ряд .

Легко доказать, что из сходимости ряда вытекает сходимость ряда . По критерию Коши, примененному к , получаем: . Из полученного неравенства следует, что и для исходного ряда также выполнен критерий Коши, следовательно он сходится.

Обозначим , т.е. , . Очевидны равенства: . Рассмотрим ряды и . Если они сходятся, то сходится и ряд , т.е. ряд абсолютно сходится. Если же сходятся ряды , то, т.к. , ряды и тоже сходятся. Таким образом, для абсолютной сходимости необходима и достаточна сходимость рядов и .

5. Условная сходимость. Теорема Лейбница

Существуют также условно сходящиеся ряды. Простейшим примером служит знакочередующийся ряд . Он не является абсолютно сходящимся, т.к. ряд расходится.

Теорема. (Лейбниц). Пусть для ряда выполнены условия:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций