матан лекции по теме ряды, страница 7

Подведем итоги. В случае, когда все  - различные, причем   - действительные, а  - пара комплексно сопряженных чисел ( ), причем , то фундаментальная система решений уравнения (1) имеет вид:   .

Случай 3. Корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть кратные. Напомним, что число  называется корнем многочлена  кратности , если , где  - многочлен, причем .

Пусть корни   имеют, соответственно, кратности . Тогда можно доказать (но мы оставим это без доказательства), что функции   составляют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Пример. Приведем пример, подтверждающий это утверждение. Уравнению  соответствует характеристическое уравнение , . Оно имеет корень  с кратностью 2. Рассмотрим функции .  и подставляя  в исходное уравнение, получаем , т.е. верное равенство. Далее,  и подстановка функции   в уравнение дает верное равенство: . Итак,   - действительно решения уравнения . Эти функции линейно независимы, т.к. из равенства  при  следует . Значит, . Тогда при   .

В случае 4, когда действительные корни  уравнения (4) имеют кратности , а комплексные корни  имеют кратности  можно доказать, что функции  образуют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Осталось напомнить, что согласно теореме 9 предыдущего параграфа, произвольное решение уравнения (1) имеет вид: , где в качестве  можно в каждом из рассмотренных случаев выбрать построенные элементы фундаментальной системы решений.

20. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравнения  (1) достаточно знать фундаментальную систему решений  однородного уравнения  (2) и найти хотя бы одно решение  неоднородного уравнения. Тогда любое решение  неоднородного уравнения имеет вид: , где   - произвольные постоянные.

В случае уравнения с постоянными коэффициентами мы указали способы нахождения его фундаментальной системы решений. Используя метод вариации постоянных, можно теперь найти решение и неоднородного уравнения. Однако есть важные частные случаи, когда решение неоднородного уравнения можно отыскать значительно проще.

Пусть  (3), где  - многочлены,  - действительные числа. Согласно принципу суперпозиции, достаточно уметь решать уравнение вида   (4). Тогда, решив каждое из уравнений  и просуммировав полученные решения, мы получим решение исходного уравнения (3).

Решения уравнения (4) имеют различный вид в зависимости от того, является или нет число  корнем характеристического уравнения для однородного уравнения (2).

В первом случае  не является корнем характеристического уравнения. Тогда решение уравнения (4) можно искать в виде , где  - многочлен той же степени, что и многочлен .

Во втором случае, если  является корнем характеристического уравнения (2) кратности , решение уравнения (4) следует искать в виде , где  - многочлен той же степени, что и .

Эти два случая можно объединить в один, если считать, что , не являющееся корнем характеристического уравнения, имеет нулевую кратность. Тогда решение уравнения (4) следует искать в виде , , где   - кратность  в характеристическом уравнении.

Если в правую часть  уравнения (1) входят слагаемые вида  (5), где  - многочлены, то можно искать решение уравнений  (6) в виде , где   - кратность корня  в характеристическом многочлене однородного уравнения ( , если  - не корень характеристического уравнения), а степень каждого из многочленов  равна наивысшей из степеней многочленов .

Когда слагаемых вида (5) несколько, то мы решаем соответствующие им уравнения (6) и применяем затем принцип суперпозиции.

Рассмотрим важный пример.

Пример. Уравнение упругих колебаний без сопротивления при наличии возмущающей периодической силы: ,  - постоянные.

Корни характеристичского уравнения  равны . Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения  состоит из функций .

Если , то решение исходного уравнения ищем в виде . Подставляем его в уравнение: , , откуда   , или , откуда . Тем самым, общее решение уравнения имеет вид . Здесь  - амплитуда свободных колебаний,  - частота свободных колебаний,  - амплитуда вынужденных колебаний с частотой . Чем ближе величина , тем больше амплитуда вынужденных колебаний.

Если же , то решение, согласно указанным выше правилам, следует искать в виде . Тогда   . Подставим в уравнение:   , или . Итак, общее решение уравнения имеет вид: . При  амплитуда колебаний возрастает неограниченно. Это – явление резонанса.