матан лекции по теме ряды, страница 5

Рассмотрим некоторые примеры таких уравнений.

Пример 1. . Очевидно решение . Если же , то уравнение можно заменить таким: , откуда . Если считать, что , то , откуда  или . Аналогично, при  получаем .

Пример 2. .  - решение уравнения. При   имеем: , и . Аналогично, при   .

В точках   единственность решения нарушается. Отметим, что это не противоречит теореме единственности:  - не непрерывен в 0.

Однородные уравнения. Под однородными уравнениями понимаются уравнения вида . Для их решения требуется сделать замену , после чего получится уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. . Оно имеет решение . Пусть теперь . Преобразуем уравнение так:   (правая часть имеет вид  - это однородное уравнение). Полагаем . При этом   и получаем уравнение . Значит, .

Уравнения вида . Такие уравнения сводятся к однородным заменой переменных. В случае, если прямые  и  пересекаются в точке , то замена  приведет уравнение к однородному. Если же эти прямые не пересекаются, то  и замена   приведет к уравнению с разделяющимися переменными.

12. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Пример. Разберем пример: .

Решим сначала вспомогательное уравнение . Это – уже знакомое уравнение с разделяющимися переменными, имеющее решение . Для нахождения решения исходного уравнения используем метод вариации постоянной. Он состоит в следующем. Ищем решение нашего уравнения в виде: , где  - некоторая дифференцируемая функция. Тогда  и, подставляя в уравнение, получаем:  или . Интегрируя, находим: . Тогда . Итак, мы нашли решение исходного уравнения. Других решений у него нет, поскольку выполнены все условия теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши ( - непрерывная функция от , а ее производная по , равная 1, тоже).

В общем случае уравнения , где  - непрерывные на  функции мы поступаем вполне аналогично. Сначала решаем вспомогательное однородное уравнение: ,  (мы не рассматриваем решение ), откуда, обозначая   любую первообразную для функции , находим, ограничиваясь случаем , для определенности, , или . Далее используем метод вариации постоянных: ищем решение неоднородного уравнения в виде . При этом . Подстановка в уравнение дает  или . Интегрируем и, обозначая  первообразную для , получаем . Тогда . Эту формулу иногда записывают в виде , понимая под знаком интеграла не все множество первообразных, а одну произвольно выбранную первообразную.

Уравнения, не разрешенные относительно производной. Общее уравнение первого порядка   можно пытаться решать разными методами.

Во-первых, можно попытаться все-таки его решить и свести исходное уравнение к одному или нескольким уравнениям вида .

Например, . Уравнение, после преобразования к виду  даст равносильную ему совокупность , откуда .

Другой способ – введение параметра.

Например, уравнение  можно решить так: введем параметр . Тогда , откуда . Но  и мы приходим к уравнению  или . При  из этого уравнения получаем . Тогда    и мы получаем параметрические уравнения: . В этом случае параметр  удается исключить:  и  - явное решение. В случае  из  получаем .

Указанный прием применим к уравнениям Лагранжа и Клеро.

Уравнение Лагранжа имеет вид , где  - дифференцируемые функции. Полагая , получаем . Дифференцируя, получаем:  или , откуда . Предполагая, что , получаем уравнение , линейное относительно . Решаем его указанным выше методом и получаем выражение для  через   и произвольную постоянную . Тогда .

Уравнение Клеро – это частный случай уравнения Лагранжа: . Вводя параметр , получаем   (т.е. , как раз оставшийся случай),  или . Тогда, если , то  и  - это общее решение уравнения Клеро. Если же , то . Тогда .

13. Дифференциальное уравнение n-ного порядка. Задача Коши для уравнения . Понижение порядка дифференциального уравнения

Теорема. Пусть функция  определена и непрерывна в области . Пусть   непрерывны в . Тогда задача Коши, состоящая в нахождении решения уравнения  с начальными условиями  (где точки  принадлежат области ) имеет, притом единственное, непродолжаемое (максимальное) решение.

Теорема сформулирована без доказательства.

Методы понижения порядка уравнения. Существуют разные методы снижения порядка (и, тем самым, некоторого упрощения) уравнения. Мы изложим здесь самые простые.

Если уравнение имеет вид  (т.е. не содержит , то введение новой переменной  уменьшит порядок уравнения, которое примет вид . Если удастся решить это уравнение, то  затем можно получить последовательным интегрированием  раз.

Если уравнение не содержит , т.е. имеет вид , то его порядок можно понизить, взяв  за независимую переменную и считая производную  функцией от . Поясним это на примере.

Пример. Решить уравнение . Пусть . Тогда , откуда ;  (пусть ); ; ; . Таким образом, . Далее находим: ; .

14. Линейное дифференциальное уравнение n-ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения

Рассмотрим дифференциальное уравнение  (1), где  - функции, непрерывные на некотором интервале .

Это уравнение называется линейным, поскольку все величины  входят в него в первой степени, т.е. линейным образом. Если , то это уравнение называется линейным однородным  (2).

Если же , то (1) – линейное неоднородное уравнение.

Удобно записывать уравнения (1) и (2) в операторной форме:  и , соответственно, где величину  можно рассматривать как результат действия линейного дифференциального оператора   на функцию .

Теорема 1. Для любого  и любых  задача Коши  имеет единственное решение , определенное на .

Доказательство. Применим общую теорему существования и единственности. Уравнение  перепишем в виде . Соответствующая функция  имеет вид . Ее частные производные по   равны, соответственно   . Поскольку , по условию, непрерывны на , все условия общей теоремы выполнены. Применяя ее, получаем требуемое.

Свойства линейных однородных дифференциальных уравнений.

Лемма 1. Для любых , имеющиъ производные до порядка  включительно, и любых постоянных   .

Замечание 1. Иными словами,  - линейный оператор.

Замечание 2. Утверждение леммы равносильно тому, что  и .

Доказательство. Для любого    в силу известных свойств производной (при  под   понимается сама функция ).

Следовательно,       .

Следствие. Если   имеют производные до -го порядка включительно, а   - постоянные, то .

Доказательство. Воспользуемся индукцием по . При  по лемме 1 (при ). Если утверждение доказано при , то, по лемме 1,  (по индуктивному предположению) .

Теорема 2. Множество решений линейного однородного дифференциального уравнения (2) представляет собой векторное пространство.

Доказательство. Следует доказать, что если  - решения уравнения, то   - тоже решение, и если  - решение, а   - постоянная, то  - тоже решение, т.е. .

По замечанию 2 к лемме 1, .

15. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского

Перейдем к более глубокому изучению свойств векторного пространства решений уравнения   (2). Мы установим ниже, что оно имеет размерность .

Определение. Пусть   - функции, имеющие все производные до  порядка включительно. Определителем Вронского  функций   называется величина  (3).

Определение. Пусть   определены ны интервале . Мы назовем их линейно зависимыми, если существуют постоянные , не все равные 0, такие, что для всех    (4).

Функции, которые не являются линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Линейная независимость означает, что из равенства (4) следует, что .

Теорема 5. Если   - линейно зависимы и имеют производные до  порядка включительно, то .

Доказательство. По условию, существуют не все равные 0 числа  такие, что на   выполняется тождество  (5). Взяв производную от обеих частей, получим:  (6). Аналогично,  , (7)  (8).