Билет9 (Билеты, ответы и шпоры на экзамен в одном флаконе (ИУ5))

Билет№9

Параметрическое и каноническое уравнения прямой.

1)определим прямую L на плоскости точкой М₀(x₀;y₀) на этой прямой и ненулевым вектором s={l;m}, параллельным ей. Такой вектор s называют направляющим вектором прямой L.

Если точка М(x;y) принадлежит прямой L, то это эквивалентно тому, что вектор М₀М коллинеарен вектору s, т.е. эти векторы принадлежат одному и тому же пространству V1. Так как вектор s ненулевой, он обр базис в этом пространстве V1. Следовательно для некоторого числа t выполяняется равенство М₀М=ts. Воспользовавшись тем, что М₀М={x-x₀;y-y₀}, s={l;m}, запишем это равенство в координатах:

Параметрическое уравнение прямой.

2) Модифицируя вывод параметрических уравнений прямой. Коллинеарность векторов М₀М и s, согласно следствию из теоремы о сложении и умножении векторов, эквивалентна равенству отношений их одноименных координат:

Вывод уравнения прямой с угловым коэффициентом:

определим прямую L на плоскости точкой М₀(x₀;y₀) на этой прямой и угол φ, на которой надо повернуть против хода часовой стрелки ось асбцисс Ох до совмещения с прямой. Предположим что φ!=90⁰

Точка М(х;у) принадлежит прямой L тогда и только тогда, когда вектор М₀М составялет с осью абсцисс угол φ или (п- φ), при этом отношение координат этого вектора можно записать в виде

Находя y приходим к уравнению y=kx+b, где k=tg φ; b=y₀-x₀tg φ

ОПР. Матрицей размера mxn называют прямоугольную числовую таблицу, состоящую из mn чисел, которые расположены в m строках и n столбцах. Эти числа называются элементами матрицы.

Виды матриц: 1) матрица-столбец, матрица размера mx1, число элементов называют столбцом. 2) квадратная матрица, матрица размера mxn при m=n. 3) прямогугольная, размера mxn, при m!=n. 4)диагональная, матрица элементы которой не равны 0 только на диагонали. 5)единичная, матрица 4, на галвной диагонали все элементы равны 1. 6)нулевая, все элеенты которой равны 0. 7)треугольная матрица, элементы которой не равны нулю отлько на главной диагонали и выше нее, либо ниже. 8)трехдиагональные, квадратные матрицы, у которых ненулевыми элементами могут быть лишь диагональные элементы и соседние с ними в строке или сотлбце. 9)верхние трапецевидные, квадратные матрицы элементы которой располагающиеся под главной диагональю равны 0. 10) ступенчатые, матрица, в которой для любой ее строки выполнено след. условие: под первым слева ненулевым элементом строки и предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы =0.

Две матрицы называют равными, если они имеют один и тот же тип и если у них совпадают соответствующие элементы.

Линейные операции над матрицами

1. Сложение. Суммой матриц А и В явл. матрица С, такого же типа с элементами c_ij=a_ij+b_ij

Сумма определена только для матриц одного типа.

1. Умножение. Произведением матрицы А на число K называют матрицу С, такого же типа, элементами которой явл, числа равные произведению элементов матрицы А на число K.

Св-ва матриц

1. сложение матриц коммутативно А+В=В+А ДОК.[A+B]_ij=a_ij+b_ij=b_ij+a_ij=[B+A]_ij

2. Сложение матриц ассоциативно (A+B)+C=A+(B+C) ДОК. Аналогично!

3. Существует матрица О, такая что А+О=А ДОК. Это нулевая матрица [A+O]_ij=a_ij+0=a_ij=[A]_ij

4. Для любой матрицы А существует матрица В, такая что А+В=0 ДОК. Имеется в виду [A+B]_ij=a_ij+b_ij=[O]_ij=0, значит элементами матрицы В являются элементы матрицы А умноженные на -1,т.е b_ij= - a_ij

5. Умножение матрицы на число ассоциативно (λμ)А= λ(μА) ДОК. Аналогично

6. Умножение матрицы на число дистрибутивно отн суммы действ чисел. (λ+μ)А= λА+μА

7. Умножение матрицы на число дистрибутивно отн суммыматриц λ(А+В)= λА+ λВ

8. Умножение матрицы на 1 не меняет ее 1*А=А

Транпонирование

Для матрицы А=(а_ij) типа mxn ее транспонированной матрицей называют матрицу А^Т=(с_ij) типа mxn с элементами с_ij=a_ji

Cв-ва ТРАНСПОНИРОВАНИЯ!

1. (А^Т)^Т=А

2. (А+В)^Т=А^Т+В^Т

3. (λА)^Т=λА^Т

Если А^Т=А матрицу называют симметрической, если А^Т=-А – кососимметрической(если матрица квадратная)