Нефедов В.И. - Электрорадиоизмерения, страница 9

Решение. Для данного прибора предел допускаемой приведен­ной основной погрешности γ = (∆/U_N) • 100 % = (∆/200) • 100 % не пре­вышает 0,5. Отсюда находим, что ∆ < ± 1 В. Следовательно, измеряемое напряжение: U= 127 ± 1 В.

Пример 2.9. Отсчетное устройство амперметра с пределами ± 50 мА и классом точности 0,04/0,02 показывает i= 25 мА. Чему равна сила тока?

Решение. Для данного прибора предел допускаемой относитель­ной погрешности в процентах согласно (2.28):

Абсолютная погрешность измерения определяют как

А = ± δ • i/100 =0,06 -25/100 = ± 0,015 == ± 0,02 мА. Таким образом, измеряемая сила тока /= 25 ± 0,02 мА.

Пример 2.10. Выбрать вольтметр для измерения сетевого перемен­ного напряжения 220 В с относительной погрешностью, не превышаю­щей 2 %. Записать результат измерений, если прибор показал 225 В.

Решение. Выбираем вольтметр с пределами шкалы 0...300 В. Так как δ не должна быть больше 2 %, необходимо, чтобы абсолютная погрешность не превысила ∆ = 5м = 0,02 • 220 В = 4,4 В. Тогда приве­денная погрешность измерений напряжения

γ = (∆/U_N) • 100 % = (4,4/300) • 100 % = 1,47 %, что соответствует классу точности 1,5. Результат измерений U= 225 ± 4,4 В.

2.6. Прямые измерения с многократными наблюдениями

Многократные наблюдения принято проводить при наличии в процессе измерений значительных случайных погрешностей. Задача обработки состоит в том, чтобы по результатам наб­людений определить наилучшую оценку измеряемой физиче­ской величины х„ = А и интервал, в котором она находится с заданной вероятностью. Эта задача решается статистической обработкой результатов наблюдений, основанной на гипотезе о нормальном распределении случайных погрешностей. Приве­денная ниже методика обработки результатов измерений дана для прямых измерений с многократными независимыми и рав­ноточными наблюдениями.

Исключение систематических погрешностей из результатов наблюдений

Точность результата многократных наблюдений тем выше, чем меньше систематическая погрешность. Поэтому ее важно исключить, для чего:

• устраняют источники систематических погрешностей до из­мерений;

• определяют поправки и вносят их в результат измерения;

• оценивают границы неисключенных систематических по­грешностей.

Оценка результата измерения и его СКО. Для удобства анализа предположим, что при выполнении п многократных наб­людений одной и той же величины х_и = А постоянная системати­ческая погрешность полностью исключена (∆_с = 0). Тогда результат i-ro наблюдения находят с некоторой абсолютной случайной пог­решностью ∆i=∆ i. = х_i –х_n.

Оценку СКО наблюдений определяют по формуле (2.21):

(2.31)

З атем вычисляют оценку СКО результата измерения σ_ср = S(Ã), которая характеризует степень разброса значений x = Ã по отношению к истинному значению x_n = A_K и для различных п:

(2.32)

Рассмотрим случай многократных наблюдений, когда резуль­тат i-го наблюдения содержит и случайную и постоянную систе­матическую погрешности: х_i = х_и + ∆ _i+∆_c. Подстановка зна­чений х, в формулу (2.12) позволяет получить оценку результата измерений

(2.33)

обнаружение и исключение грубых погрешностей

Если в полученной группе результатов наблюдений одно или два из них существенно отличаются от остальных, а наличие ошибки в снятии показаний и других промахов не обнаружено, то необходимо проверить, не являются ли они грубыми погреш­ностями, подлежащими исключению. Решение задачи выполня­ют общими методами проверки статистических гипотез в пред­положении нормального распределения результатов наблюдений. Проверка гипотезы состоит в утверждении, что результат i-го наблюдения x_{i ,} не содержит грубой погрешности, т.е. является значением измеряемой величины. Используя определенные ста­тистические критерии, пытаются опровергнуть выдвинутую ги­потезу. Если это удается, то результат наблюдения рассматривают как грубую погрешность и его исключают.

Критерий оценки нормальности закона распределения при неизвестном СКО σ. При исключении грубых погрешно­стей из результатов наблюдений по этому критерию проводят следующие операции.

1. Результаты группы из п наблюдений (объем, выборки), упо­рядочивают по возрастанию х₁ < х₂ < ••• < х_n. По (2.12) и (2.32) вычисляют оценки среднего арифметического значения х и СКО

наблюдений σ этой выборки. Для предполагаемых промахов, это, например, результаты х₁ и х_n, проводят расчет коэффициентов:

(2.34)

2. Задаются уровнем значимости критерия ошибки q (при­
ведены в литературе по погрешностям измерений) и по пара­
метрам q и п находят предельное значение коэффициента 1_Г;

(2.35)

3. Сравнивают коэффициенты, определяемые по формулам
(2.34) и (2.35). Если выполняются условия t₁ > t_г и t_n> t_г, то значе­-
ния х₁ и х_n относят к промахам и исключают из результатов на­-
блюдений.

К ритерий «трех сигм». Критерий применяют для резуль­татов измерений, распределенных по нормальному закону, и одним из граничных параметров при этом служит оценка СКО измерений σ. Считается, что результат, полученный с вероят­ностью q < 0,003, маловероятен и его относят к промахам, если

| х_i - x | > 3σ. Значения x и σ вычисляют без учета экстре­мальных значений х,. Критерий хорошо работает при числе измерений п > 20 - 50.

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения

При измерениях практический интерес представляет опреде­ление доверительного интервала (Ã - ∆_г, Ã + ∆_г), в котором с заданной доверительной вероятностью Р_Л находится измеряемая величина х_и = А_И. Аналитически доверительная вероятность запи­сывается в следующем виде:

Р(Ã - ∆_г <А< Ã + ∆_г,)=Р_Л. (2.36)

Границы доверительного интервала принято указывать сим­метричными относительно результата измерения. При техниче­ских измерениях доверительная вероятность Р_Д = 0,95.

Если используется нормальный закон распределения, то по­иск доверительного интервала выполняют с помощью значений интеграла вероятностей ψ(z). Задают доверительную вероятность Р_Л и по табл. 2.1 находят z, соответствующее ψ(z) = Р_Д. Далее, учи­тывая z и заранее вычисленную оценку СКО σ_ср = S(Ã), опреде­ляют доверительную границу случайной погрешности:

(2.37)

Аналитически нижнюю А_и и верхнюю А_в границы дове­рительного интервала представляют в следующем виде:

Рассмотрим применение распределения Стьюдента для поиска доверительного интервала. Используя данные табл. 2.2, по заданной доверительной вероятности Р_Д и известному чис­лу наблюдений п находят соответствующий коэффициент Стьюдента t{P_a, n). Далее определяют доверительную границу случайной погрешности результата измерения

(2.38)

а также границы доверительного интервала:

При одинаковой доверительной вероятности с уменьшением числа наблюдений доверительный интервал увеличивается, т.е. точ­ность измерений снижается.

Границы неисключенных систематических погрешностей результата измерения Неисключенные систематические погрешности принято рас­сматривать как случайные с равномерным симметричным зако­ном распределения плотности вероятности и определять каждую границами ±Өi,. Причем в качестве границы Өi, принимают, нап­ример, пределы допускаемых основных и дополнительных пог­решностей средств измерений.

Общую границу Ө= Ө (Р_Д) числа т неисключенных система­тических погрешностей вычисляют по формуле

(2.39)

(2.42)

где к — коэффициент, зависящий от т, принятой доверительной вероятности Р_Д и связи между составляющими погрешностей Өi.

Данная вероятность Р_Д должна быть равна той, которая была принята при расчете доверительной границы случайной погреш­ности результата измерения. Коэффициент к = 0,95 при Р_Д = 0,9; к = 1,1 при Р_Д = 0,95 и к = 1,4 при Р_Д = 0,99. При других вероятно­стях его определяют по установленному стандарту.

Границы погрешности результата измерения

Обычно на погрешность результата измерения с многократ­ными наблюдениями влияют случайные погрешности и НСП. Тогда границы погрешности результата измерения ± ∆ оцени­ваются в порядке, указанном ниже.

Пусть Ө — граница НСП, определяемая по (2.39), S(Ã)— оценка СКО результата измерения (2.32), а ε — доверительная граница случайной погрешности результата измерения (2.38).

1. Если значение границы Ө< 0,8 S(Ã), то НСП пренебрегают,
считая их несущественными по сравнению со случайными по­
грешностями, и полагают, что граница погрешности результата

измерения ∆_г = ε = t(Р_Д ,, п)S(Ã), .

1. При Ө> 0,8 S(Ã), пренебрегают случайной погрешностью по сравнению с НСП и полагают, что граница погрешности ре­зультата измерения ∆ = Ө .

2. Если 0,8 S(Ã)< Ө < 0,8 S(Ã), границу погрешности результата измерения вычисляют путем композиции распределений случай­ных и неисключенных систематических погрешностей, рассмат­риваемых как случайные величины:

∆_г =KS_∑ (2.40)

Здесь К— коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенных систематических погрешностей; S_∑ — оценка суммарного СКО результата измерения.

Коэффициент К и оценку S_∑ вычисляют по формулам:

(2.41)

Соответствующим стандартом регламентирована и форма записи результатов измерений. Для симметричных доверитель­ных границ погрешности результат измерения величины х_И = А

представляется в форме х_н= А = Ã ± ∆(Р_Д), где А — оценка ре­зультата измерения, определяемого по (2.12).

2.7. Прямые однократные измерения

Большинство технических измерений являются однократ­ными. В реальных условиях их точность может быть вполне при­емлемой, а простота и высокая скорость ставят однократное измерение вне конкуренции с любыми другими. При однократ­ных измерениях используют единственное значение отсчета по­казаний прибора. Являясь случайным, однократный отсчет х включает в себя инструментальную, методическую и личную со­ставляющие погрешности измерения, в каждой из которых могут быть выделены систематические и случайные составляющие.