Нефедов В.И. - Электрорадиоизмерения, страница 11

Правило 1. Погрешности в суммах и разностях. Если ар­гументы х₁ и х₂ измерены с погрешностями ∆х₁ и ∆х₂ и измерен­ные значения используют для вычисления суммы или разности А = х₁ + х₂, то суммируют абсолютные погрешности без учета знака

(2.49)

Правило2.Погрешности в произведениях и частных. Если измеренные значения х₁ и х₂ используют для вычисления А = х₁• х₂, или А= х₁/ х₂, то суммируют относительные погрешности δА= δх₁+δх₂, где δх = ∆х/х.

Правило 3. Измеренная величина умножается на кон­станту. Если х используют для вычисления произведения А = В•х, в котором В не имеет погрешности, то δА =│ В│δх.

Правило 4. Возведение в степень. Если х используют для вычисления степени А = xⁿ, то δА = nδ.

Правило 5. Погрешность в произвольной функции одной переменной. Если х используют для вычисления функции А(х), то

Вывести эти правила можно легко самостоятельно. Использо­вание правил позволяет получить не слишком завышенную оценку предельной погрешности результата нелинейного косвенного из­мерения при не слишком большом числе аргументов (т < 5).

(2.50)

Результат косвенного измерения представляют в виде сле­дующей формулы

(2.52)

в которой учитывается доверительная вероятность.

2.9. Совместные измерения

Совместными называют выполняемые одновременно изме­рения двух или нескольких неодноименных физических величин с целью установления зависимости между ними. Пусть требуется определить зависимость у = f(x) между параметрами х и у. Для этого необходимо изменять величину х и при каждом ее уста­новленном значении выполнять одновременное измерение вели­чин х и у. В результате подобных измерений находят координаты (х_i у_i) искомой зависимости у =f(x). Экспериментальные коорди­наты х_i у_i, (где i = 1, 2, ... , п — число совместных измерений) отли­чаются от истинных координат (х_i у_i) из-за систематических и случайных погрешностей. Поэтому возникает задача наилучшей аппроксимации экспериментальной зависимости у =f(x) по коор­динатам x_i,y_i.

Оптимальный подход к решению подобных задач возможен на основе применения метода наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов

Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что наивероятнейшими значениями аргументов искомой аналитиче­ской зависимости будут такие, при которых сумма квадратов от­клонений экспериментальных значений функции у, от значений самой функции у, будет наименьшей:

Пусть y является функцией нескольких аргументов:

где а₀ , а_1,…… а_т — неизвестные коэффициенты. Тогда на основа­нии п экспериментальных пар у_i и х_i , следует определить т + 1 искомых аргументов аналитической зависимости, которая наи­лучшим образом описывает массив у_i и х_i т.е. метод наименьших квадратов требует выполнения условия:

(2.54)

На основе метода наименьших квадратов можно проводить аппроксимацию различных аналитических зависимостей, напри­мер, выражаемых полиномами вида: у = а + bх + сх² + …..+ ехⁿ, где коэффициенты а, b, с, ... , е — константы.

Рассмотрим важный для практики случай, когда искомая за­висимость имеет линейный характер вида

(2.55)

у = а +bx

(2.53)

П ри использовании метода наименьших квадратов необхо­димо по набору из п экспери­ментальных координат (х_i у_i) найти такие оценки неиз­вестных постоянных а и b, при которых получают прямую, наилучшим образом отражаю­щую истинную анализируемую линию (2.55). График функции вида (2.55) представляет собой прямую линию с коэффициен­том b = tgα, пересекающую ось ординат в точке у = а (рис. 2.5).

Рис 2.5 Апроксимация

Исследуемой зависомости

В соответствии с методом наименьших квадратов наилуч­шим оценкам искомым постоянным а и b соответствует мини­мальное значение следующего выражения:

(2.56)

где [у_i, - (а + bx_i)] — отклонение измеренных значений у, от вы­численных по формуле (2.55) при х =xi. Можно показать, что:

(2.57)

З десь

(2.58)

Степень приближения найденных значений а и b к истинным значениям этих величин оценивается с помощью их СКО σ_a и σ_b :

(2.59)

где а, — СКО погрешности измерения величины у, значение ко­торой можно получить из паспортных данных на средство изме­рения или вычислить по формуле:

(2.60)

П ример 2.12. Требуется установить реальную зависимость сопро­тивления металлического проводника от температуры Ri=f(t) по резуль­татам совместных измерений (табл. 2.4). При этом теоретическая зависимость определена как:

где R₀ — сопротивление проводника при 0 °С; а — температурный ко­эффициент сопротивления проводника; t — температура, 0 °С.

Таблица 2.4. Результаты совместных измерений

t °с	10	15	20	25
Ri Om	10,3	10,9	11,3	11,6

Преобразуем последнюю формулу:

в которой а = R₀ ; b= αR₀.

Расчеты по формулам (2.58) и (2.59) при п = 4, х_i=t_i, и у_i = R_i дают

следующие результаты:

а = 9,52 Ом; Ь = 0,09 Ом/град.

Пусть средство измерения имеет СКО σ_Rt= 0,2 Ом. Тогда, проведя вычисления по формулам (2.60), получим:

σ_а= 0,33 Ом; σ_ь = 0,02 Ом/град. Окончательно имеем:

а + σ_а = (9,52 ± 0,33) Ом; b + σ_ь = (0,09 ± 0,02) Ом/град.

2.10. Погрешность и неопределенности измерения

После того, как все известные или предполагаемые состав­ляющие погрешности результата измерения оценены и внесены соответствующие поправки, все еще остается сомнение в том, что результат измерения близок к истинному значению измеряемой величины. Количественной мерой этого сомнения использовали понятие «погрешность измерения». Однако классификация по­грешности измерения на случайную и систематическую и имею­щиеся методы ее описания перестали по разным причинам удовлетворять ряду метрологических требований. Поэтому стали поступать предложения по совершенствованию этих представле­ний, обосновывавшиеся «несоответствием принципов оценива­ния погрешностей современным практическим задачам».

По инициативе ряда международных метрологических орга­низаций была предложена концепция нового представления ре­зультатов измерений. Ее суть проста: обработка результатов измерений практически везде проводится с использованием ап­парата теории вероятностей и математической статистики и везде погрешности разделяются на случайные и систематические. Од­нако модели погрешностей, значения доверительных вероятно­стей и формирование доверительных интервалов в разных странах заметно отличаются друг от друга, что затрудняет сличе­ние результатов измерений. Для устранения этих сложностей было разработано «Руководство по выражению неопределенно­сти в измерении» (Guide to the expression of uncertainty in measurement, ISO/TAG — /WG3, Geneva, June 1992). Его основ­ными положениями являются:

• запрет на использование таких понятий, как истинное и дей­ствительное значения измеряемой величины, погрешность, отно­сительная погрешность, точность измерения, случайная и систематическая погрешности;

• вместо термина «погрешность измерения» введено понятие «неопределенность измерения», трактуемое как «параметр, свя­занный с результатом измерения, характеризующий дисперсию значений, которые можно приписать измеряемой величине»;

• разделение составляющих неопределенности на два типа: А и В.
Неопределенности типа А можно количественно оценить

статистическими методами на основе многократных измерений и описать традиционными характеристиками — дисперсией или СКО. Взаимодействие неопределенностей типа А описывается коэффициентом взаимной корреляции.

Неопределенности типа В могут быть оценены любыми дру­гими методами, кроме статистических. Они должны описываться величинами, аналогичными дисперсии или СКО, поскольку именно эти характеристики можно использовать для объедине­ния неопределенностей типа В как между собой, так и с неопре­деленностями типа А.

Очевидно, что неопределенность типа А не что иное, как ха­рактеристика случайной составляющей погрешности резуль­тата измерения, а неопределенность типа В — характеристика неисключенной систематической погрешности. Причем, объе­динение неопределенностей типа А и В проводится по тем же правилам, что и при объединении составляющих погрешности, т.е. суммированием дисперсий. Итак, ничего не меняя по сущест­ву, замена понятия «погрешность» на «неопределенность», несу­щую ту же смысловую нагрузку, приведет лишь к путанице в мыслях, публикациях и документах. Поэтому пока нет жестких оснований отказываться от традиционного, привычного термина «погрешность измерений».

Рассмотренные рекомендации пока не вошли в норматив­ные документы метрологических органов Российской Федера­ции. Тем не менее многие метрологи склоняются к мнению, что понятие «неопределенность измерения» надо постепенно вво­дить в практику, но пока не вместо понятия «погрешность», а наряду с ним. При этом можно ожидать, что в силу между на-

родного характера «Руководства по выражению неопределен ности измерения» российские метрологи будут вынуждены пе рейти на новую терминологию.

Контрольные вопросы

1. Перечислите возможные причины проявления погрешностей.

2. Назовите признаки, по которым классифицируются погрешности.

3. Что называют абсолютной, относительной и приведенной по­грешностями?

4. Что такое грубые погрешности (промахи)?

5. Какие характеристики погрешностей вам известны?

6. Сформулируйте свойства систематической, случайной и прогрес­сирующей составляющих погрешности измерений.

7. Приведите известные вам примеры методических погрешностей.

8. В чем заключаются принципы оценивания погрешностей?

9. Назовите методы уменьшения систематических погрешностей?

10. Когда погрешность измерения может рассматриваться как слу­чайная величина?

11. Какой математический аппарат используют для оценки случайных погрешностей?

12. Назовите основные законы распределений случайных погрешно­стей.

13. Что такое нормальное распределение?

14. Перечислите свойства интегральной и дифференциальной функ­ций распределения случайной величины.

15. Назовите числовые параметры законов распределения.

16. Как описывается и когда используется распределение Стьюдента?

17. Что называют доверительной вероятностью и доверительным ин­тервалом?

18. Назовите правила округления результатов измерений.

19. Перечислите основные принципы, лежащие в основе выбора нор­мируемых метрологических характеристик средств измерений.

20. На какие группы делятся нормируемые метрологические характе­ристики средств измерений?

21. Как нормируются приборы по классам точности при преобла­дающей аддитивной погрешности?

22. Какие метрологические характеристики описывают погрешность средств измерений? Как производится их нормирование?

23. Перечислите алгоритмы обработки результатов прямых многократ­ных измерений.

1. Какие меры используются для исключения систематических по­грешностей из результатов прямых многократных наблюдений?

2. Что такое неисключенные остатки систематических погрешно­стей?

3. Что такое грубые погрешности?

4. Что представляет собой критерий оценки анормальности ре­зультатов наблюдений?

5. Расскажите о критерии «трех сигм».

6. Для чего необходимо идентифицировать форму закона распреде­ления результатов измерений?

7. Как определяют границы неисключенных остатков систематичес­ких погрешностей?

8. Как определяют границы погрешности результата измерения?

9. Каков порядок обработки результатов однократных измерений с точным оцениванием погрешностей?

10. Как обрабатываются результаты однократных измерений с при­ближенным оцениванием погрешностей?

11. В чем состоит метод линеаризации и как он используется для об­работки результатов косвенных измерений?

12. Каков алгоритм обработки результатов совместных измерений?

13. В чем состоит суть метода наименьших квадратов?

14. В чем заключаются международные рекомендации по оценива­нию неопределенности результата измерений?

1. Какие меры используются для исключения систематических по­грешностей из результатов прямых многократных наблюдений?

2. Что такое неисключенные остатки систематических погрешно­стей?

3. Что такое грубые погрешности?

4. Что представляет собой критерий оценки анормальности ре­зультатов наблюдений?

5. Расскажите о критерии «трех сигм».

6. Для чего необходимо идентифицировать форму закона распреде­ления результатов измерений?

7. Как определяют границы неисключенных остатков систематичес­ких погрешностей?

8. Как определяют границы погрешности результата измерения?

9. Каков порядок обработки результатов однократных измерений с точным оцениванием погрешностей?

10. Как обрабатываются результаты однократных измерений с при­ближенным оцениванием погрешностей?

11. В чем состоит метод линеаризации и как он используется для об­работки результатов косвенных измерений?

12. Каков алгоритм обработки результатов совместных измерений?

13. В чем состоит суть метода наименьших квадратов?

14. В чем заключаются международные рекомендации по оценива­нию неопределенности результата измерений?

Глава3 ИЗМЕРЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ И СИЛЫ ТОКА

3.1. Общие сведения

Измерение напряжения и силы тока в электрических цепях относятся к наиболее распространенным видам измерений. При этом преобладающее значение имеет измерение напряжения, по­скольку чаще всего этой величиной принято характеризовать ре­жимы работы различных радиотехнических цепей и устройств. К тому же параллельный метод подключения вольтметра к участку цепи, как правило, не приводит к нарушению электрических про­цессов в ней, поскольку входное сопротивление прибора выбира­ется достаточно большим. При измерениях же силы тока приходится обязательно размыкать исследуемую цепь и в ее раз­рыв последовательно включать амперметр, внутреннее сопротив­ление которого отлично от нуля. Так как напряжение и сила тока связаны, согласно закону Ома, линейной зависимостью, удобнее проводить измерение напряжения и по его значению аналитиче­ски вычислять силу тока.