Нефедов В.И. - Электрорадиоизмерения, страница 6

Для удобства анализа ниже предполагается, что абсолютная погрешность результата измерений (2.4) является случайной, т.е. и обозначается .

Описание и оценка случайных погрешностей

Аналитически случайные погрешности измерений описывают и оценивают с помощью аппарата теории вероятностей и матема­тической статистики.

Наиболее общей характеристикой случайной величины (в данном случае случайной погрешности ) является закон {функция) ее распределения. Известны две формы описания этого зако­на: дифференциальная и интегральная.

Дифференциальным законом распределения случайной погрешности или одномерной плотностью распределения вероятностей {плотностью вероятностей) случайной погрешности называют функцию

, (2.5)

где — вероятность нахождения значений погрешности в интервале .

Интегральным законом распределения случайной погрешности называют функцию , выражающую вероятность того, что случайная погрешность находится в интервале от — со до некоторого значения, меньшего граничного :

(2.6)

Функция неубывающая и определена так, что и . Интерес представляет поиск вероятности , с которой погрешность измерений находится в заданном интервале погрешностей , где и — нижняя и верхняя границы этого интервала. Записывают вероятность как и в общем случае . Если и выполнено 100 измерений, то считают, что 60 значений попадают в интервал .

Для определения вероятности можно использовать и интегральный и дифференциальный законы распределения, но чаще применяют дифференциальный

(2.7)

так как он более наглядно описывает свойства случайной погрешности.

Из физических представлений следует, что вероятность на­хождения погрешности на интервале всех возможных ее значений, т.е. на интервале .

Часто необязательно описывать случайную погрешность с помощью законов распределения , а достаточно охарактеризовать числами отдельные ее свойства. Такие числовые характеристики называют моментами. Напомним, что моменты называют начальными, если с их помощью усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, и центральными, если усредняются величины, отсчитываемые от центра распределения.

Для рассматриваемых ниже симметричных законов применяется в основном центральный момент второго порядка, называемый дисперсией:

. (2.8)

Дисперсия характеризует рассеяние погрешностей относи­тельно центра распределения . Так как имеет размерность квадрата погрешности, то обычно используют среднее квадратическое отклонение (СКО) , которое имеет размерность самой погрешности.

В практике радиоизмерений при анализе погрешностей наи­более распространены нормальный (Гаусса), равномерный, а также закон распределения Стьюдента.

Нормальный закон распределения погрешностей применяют при следующих предположениях:

• погрешность может принимать непрерывный ряд значений в интервале ;

• при выполнении значительного числа наблюдений большие погрешности появляются реже, чем малые, а частота появления погрешностей, идентичных по абсолютной величине и противоположных по знаку, одинакова.

Для нормального закона распределения

(2.8)

где — СКО погрешности характеризует точность измерений.

Рис. 2.2. Графики нормального закона распределения

Чем меньше, тем выше точность измерений. Это следует из графиков функции (2.9) для разных (рис. 2.2). По мере уменьшения рассеяние случайных погрешностей относительно центра их распределения, т.е. в данном случае относительно значения , уменьшается. При нормальном законе распределения погрешностей формула расчета вероятности находится подстановкой (2.9) в (2.7). Для симметричного интервала, т.е. и :

(2.10)

Отметим геометрическую интерпретацию вероятности (2.10). На графике рис. 2.2 для конкретного значения СКО вероятность численно равна площади заштрихованной фигуры, ограниченной функцией , отрезком оси погрешностей от до и ординатами , . Чем шире заданный интервал погрешностей , тем больше площадь , т.е. выше вероятность попадания случайных погрешностей измерений в этот интервал. Для интер­вала погрешностей вероятность .

Чтобы вычислить вероятность (2.10), удобнее в интеграле ввести новую переменную . При этом его верхний предел интегрирования заменяется на , а правая часть выражения (2.10) преобразуется в табулированный интеграл , называемый интегралом вероятностей:

. (2.11)

Функция , называемая функцией Лапласа, выражает вероятность попадания случайной величины в интервал . Значения функции приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Значения интеграла вероятностей

Задавая границу в значениях , находят , а затем искомую вероятность по таблицам функции . Можно выполнить и обратный поиск, т.е. по заданной вероятности найти , далее и интервал . По табл. 2.1 находят вероятности (2.10) для имеющих практическое значение ин­тервалов погрешностей , представленных в :

.

В соответствии со значениями этих вероятностей погрешность результатов измерений, равная , названа равновероятной (так как ). Погрешность, равная , принята в радиотехнике за максимальную и ее записывают в виде . При из тысячи выполненных измерений только три их погрешности Л выходят за пределы интервала .

При нормальном законе распределения случайной погрешности за истинную величину принимают ее оптимальную оценку , равную оценке , математического ожидания выполненного ряда наблюдений , т.е. полагают, что есть результат измерения:

. (2.12)

Закон распределения Стьюдента применяют при обработке результатов небольшого числа многократных наблюдений и он справедлив, когда плотность вероятности слу­чайных погрешностей распределена по нормальному закону. Закон описывает распределение плотности вероятности случайной величины

(2.13)

где — оценка СКО результата измерения .

Интеграл вероятности для распределения Стьюдента

(2.14)

Здесь

Параметр в (2.14) называют коэффициентом Стьюдента. При расчетах погрешностей задают некоторую доверительную вероятность и число проводимых наблюдений . Поэтому данный коэффициент обозначают через . Значения коэффициента приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2. Коэффициенты Стьюдента

Р авномерный закон распределения характерен для поведения случайных погрешностей при измерении непрерывных физических величин цифровыми методами. Все возможные случайные погрешности результата измерений, характеризуемых равномерным законом, расположены в некотором интервале , где — максимальная погрешность (рис. 2.3). Аналитически плотность вероятности равномерного закона распределения погрешностей описывается следующими соотношениями: