Нефедов В.И. - Электрорадиоизмерения, страница 10

Оценивание погрешностей прямых однократных измерений можно подразделить на точное и приближенное.

Прямые однократные измерения с точным оцениванием погрешностей

Главной особенностью однократного измерения является то, что законы распределения случайных составляющих неиз­вестны и представление о них формируют лишь на основе огра­ниченной априорной информации.

Достаточно легко, путем поверки или по паспортным дан­ным можно получить оценку систематической погрешности измерительного прибора, а анализом метода измерения — оцен­ку систематической погрешности методического характера. При наличии в документации на измерительный прибор сведений о дополнительных систематических погрешностях, обусловлен­ных влияющими величинами, эти погрешности также оценива­ют и учитывают.

После исключения из отсчета всех известных систематиче­ских погрешностей считают, что погрешность исправленного результата х_и = Ã ± ∆(Р_Д) состоит из неисключенных остатков систематических и случайных составляющих погрешностей. Неисключенные систематические погрешности переводят в ка­тегорию случайных и оценивают каждую составляющую своими границами. При этом рекомендуется распределение вероятно­стей принимать равномерным, если погрешности заданы грани­цами и нормальным, если они заданы СКО.

В качестве границ составляющих неисключенных система­тических погрешностей можно принимать, например, пределы допустимых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, применявшихся при поверке в качестве образцовых, погрешности расчетных поправок и т.д. Если каждая НСП оце­нена своей индивидуальной границей ε_i(Р), то доверительные границы суммарной НСП определяют по формуле (2.39).

Если случайные составляющие погрешности представлены своими СКО S_i определенными предварительно опытным путем по результатам многократных наблюдений, либо доверительными границами, найденными экспериментально, то:

где t(P_д, n) — коэффициент Стьюдента, взятый из табл. 2.2.

Когда случайные составляющие погрешности измерений представлены доверительными границами ε_i(Р), соответствую­щими одинаковой доверительной вероятности Р = Р_д, тогда зна­чение ε=ε_i(Р), рассчитывают по следующей формуле:

(2.44)

Получив по отдельности оценки неисключенной системати­ческой и случайной погрешностей результата однократного изме­рения, их целесообразно сопоставить. Если необходимо учитывать обе составляющие, то их суммируют по формуле (2.42).

Соответствующим государственным стандартом регламенти­рована форма записи результата прямого однократного измере­ния величины х_и = А = Ã ± ∆(Р_Д).

Прямые однократные измерения с приближенным оцениванием погрешностей

При приближенной оценке, как и при точной, необходимо перед началом измерений провести предварительную оценку составляющих погрешности результата измерения. Эту информа­цию получают из опыта проведения подобных измерений, нор­мативно-технической документации на используемые средства измерений и других источников. Если оценка погрешности пре­вышает допустимую, то следует выбрать более точное средство измерений или изменить методику измерения.

(2.43)

В простейшем случае погрешность результата измерения рав­на пределу допускаемой абсолютной основной погрешности сред­ства измерения ∆_си, определяемой по нормативно-технической документации, если измерения проводились в нормальных условиях. При этом результат измерения можно записать в виде х_и =ñ ∆_си, т.е. без указания доверительной вероятности, которая подразумевается равной Р_д = 0,95. Если же измерения проводились в условиях, отличающихся от нормальных, то следует определять и учитывать пределы дополнительных погрешностей, а затем суммировать их с основными.

Пример 2.11. Оценить результат и погрешность однократного из­мерения значения напряжения на участке электрической цепи сопротив­лением R = 4 Ом, выполненного вольтметром класса точности 0,5 % с верхним пределом измерения U_B = 1,5 В и внутренним сопротивлением R_v = Ю00 Ом. Показание вольтметра U_x = 0,90 В. Известно, что допол-

н ительные относительные погрешности показании вольтметра из-за влияния магнитного поля и окружающей температуры не превышают соответственно значений δ_МП = ± 0,75 % и δг = ± 0,3 % допускаемой предельной относительной погрешности.

Решение. Инструментальную составляющую погрешности изме­рения определяют основной и дополнительной погрешностями. При показании вольтметра 0,90 В предел допускаемой относительной по­грешности вольтметра на этой отметке в процентах равен:

δх= δсиU_B/U = 0,5•1,5/ 0,90 = 0,83 %.

Методическую погрешность определяют соотношением между со­противлением участка цепи R и сопротивлением вольтметра R_v При подсоединении вольтметра исходное напряжение U_x изменится из-за наличия сопротивления R_{v и} составит

Отсюда относительная методическая погрешность:

Эта методическая погрешность является систематической и должна быть исключена из результата измерения путем введения поправки

Тогда результат измерения с учетом поправки на систематическую погрешность будет равен

Относительную погрешность результата измерения находят сум­мированием

Переходя к абсолютной суммарной погрешности, имеем

Применив статистическое суммирование по (2.39) при Р_д = 0,95, получим значение доверительной границы неисключенных системати­ческих погрешностей

Находим абсолютную погрешность:

Округляя, окончательный результат измерения можно представить в следующем виде:

2.8. Косвенные измерения

При косвенных измерениях измеряемая физическая величина А является известной функцией f ряда других величин — аргу­ментов х_ь х₂, …..x_i…..x_m Аргументы подвергаются прямым измерениям, а величину А вычисляют по формуле

(2.45)

Каждый из аргументов измеряется с некоторой погрешностью, вносящей определенный вклад в результат косвенного измерения. Для оценки этих погрешностей важно разделение косвенных изме­рений на линейные и нелинейные косвенные измерения.

При линейных косвенных измерениях формула (2.45) запишется в следующем виде:

где b_i — постоянные коэффициенты при аргументах x_i.

При нелинейных косвенных измерениях (2.45) будет пред­ставлять собой другие функциональные зависимости.

Погрешности измерения аргументов могут быть заданы либо своими границами ∆ x_i , либо доверительными границами ∆х(Рд)_i, с доверительными вероятностями P_дi. Если число аргументов неве­лико (меньше пяти), то простая оценка погрешности результата ∆А получается суммированием предельных погрешностей (без учета знака), т.е. подстановкой границ ∆х₁ ∆х₂, ... , ∆х_т в формулу

(2.47)

При практических вычислениях эта оценка является завы­шенной, поскольку подобное суммирование сводится к тому, что

погрешности измерения всех аргументов одновременно совпадают по знаку и имеют максимальное значение. Реально вероятность та­кого совпадения близка к нулю. Чтобы найти более реалистичную оценку, проводят статистическое суммирование погрешностей аргу­ментов. Полагая, что в заданных границах погрешности аргументов распределены равномерно, доверительные границы ∆А(Р_д) погреш­ности результата измерения рассчитывают следующим образом:

где коэффициент к определяют аналогично (2.39).

Е сли погрешности измерения аргументов заданы довери­тельными границами с одинаковыми доверительными вероятно­стями, то считая распределение этих погрешностей нормальным, доверительные границы находят по формул

Если доверительные вероятности погрешностей аргументов различны, то их необходимо привести к одному значению Р_д.

При нелинейных косвенных измерениях возни­кают существенные сложности их статистической обработки, связанные с изменением законов распределения аргументов x_i в результате их функциональных преобразований. Поэтому прово­дят приближенную оценку погрешности результата косвенного измерения на основе линеаризации функции (2.45).

Запишем выражение для полного дифференциала функции А через частные производные по аргументам x_i

Согласно определению полный дифференциал функции — это приращение функции, вызванное малыми приращениями ее аргументов. Так как погрешности измерения аргументов всегда являются малыми величинами по сравнению с номинальными

значениями аргументов, то справедлива замена в (2.50) дифферен­циалов аргументов dx, на погрешности измерений ∆x_i а дифферен­циала функции dA на погрешность результата измерения ∆А:

(2.51)

(2.48)

Если проанализировать формулу (2.51), то можно получить ряд простых правил оценивания погрешности результата косвен­ного измерения.