Нефедов В.И. - Электрорадиоизмерения, страница 7

(2.15)

Вероятность того, что случайная погрешность находится в симметричном интервале , определяют с помощью выражения (2.7):

(2.16)

На графике плотности вероятности (см. рис. 2.3) площадь заштрихованного прямоугольника с основанием и высотой равна вероятности (2.16).

Для равномерного закона распределения, симметричного относительно центра , расчет СКО случайной погрешности выполняется по (2.8):

(2.17)

Описание и оценка результатов наблюдений

Ниже предполагается, что результаты наблюдений некоторой величины содержат только случайную погрешность . Значит свойства случайной величины наиболее полно описывают законом распределения , соответствующим за­кону распределения ее случайной погрешности .

В частности, аналитическое представление нормального закона случайной величины можно получить путем преобразова­ния координат в формуле (2.9), т.е. переходом от переменной к новой переменной . Тогда:

(2.18)

где — центр распределения случайной величины , — ее СКО.

Вероятность попадания величины в некоторый интервал вычисляют по формуле, подобной (2.6), с заменой интервала на интервал и переменной на .

Для описания отдельных свойств случайной величины используют числовые характеристики законов распределения — начальные и центральные моменты -го порядка, отражающие некоторые средние значения.

Начальный момент 1-го порядка {математическое ожидание случайной величины) определяет центр распределения и описывается выражением

. (2.19)

Центральный момент 2-го порядка (дисперсия) характеризует рассеяние значений случайной величины и определяют формулой:

. (2.20)

Точечные оценки законов распределения результатов наблюдений

Функции распределения описывают поведение непрерывных случайных величин , значения которых неотделимы друг от друга в некотором конечном или бесконечном интервале. Однако реальное число наблюдений величины всегда ограничено, и поэтому как результаты наблюдений, так и их случайные погрешности величины дискретные, значения которых поддаются счету. Оценим математическое ожидание и СКО для ограниченной группы (выборки) наблюдений, обозначив их через . Такие оценки называют точечными и их принято помечать волнистой чертой — тильдой: и .

Результат измерений при распределении наблюдений по нормальному закону определяют, учитывая известную в теории вероятностей закономерность (закон больших чисел): при достаточно большом числе независимых наблюдений , среднее арифметическое значений случайной величины приближается к ее математическому ожиданию , определяемому подобно оценке по формуле (2.12): .

Соответственно, при оценке СКО используют выражение для СКО , справедливое для достаточно больших :

(2.21)

Доверительная вероятность и доверительный интервал.

Принимая точечную оценку за истинное значение измеряемой величины надо убедиться в ее точности. В качестве меры точности рассматривают симметричный интервал , в котором с заданной вероятностью располагается ошибка оценки :

Это выражение принято записывать в следующем виде:

(2.22)

означающим, что истинное значение измеряемой величины с вероятностью попадает в интервал .

Интервал шириной и вероятность называют доверительными, а коэффициент , принимаемый не большим 0,1 — уровнем значимости ошибки. Отметим также, что и называют нижней и верхней границами доверительного интервала, а — доверительной границей случайной погрешности результата измерения.

Оценку случайных погрешностей с помощью доверительного интервала называют интервальной, а доверительный интервал определяют с использованием квантильных оценок погрешностей.

Квантильные оценки распределения случайных погрешностей

П

Рис. 2.4. Квантильные оценки случайной погрешности

оясним квантильные оценки с помощью графика нормального Рис. 2.4. Квантильные оценки случайной погрешности закона распределения случайных погрешностей (рис. 2.4). При таких оценках исходят из того, что площадь, заключенная под всей кривой плотности распределения погрешностей, отражает вероятность всех возможных значений погрешности и по условиям нормирования равна единице. Эту площадь можно раз­делить вертикальными линиями на части. Абсциссы этих линий называют квантилями.

Под - процентным (здесь — вероятность) квантилем понимают абсциссу вертикальной линии, слева от которой площадь под кривой плотности распределения равна %. На рис. 2.4 абсцисса - есть 25 %-ная квантиль, так как площадь под кривой слева от нее, т.е. от - до — составляет 25 % всей площади. Абсцисса соответствует 75 %-ной квантили. В интервале между квантилями и содержится 50 % всех возможных значений случайной погрешности измерений, и его протяженность записывается как . Интервал значений случайной погрешности между и охватывает 90 % всех возможных значений и называют интерквантильным промежутком с 90 %-ной вероятностью.

2.4. Правила и формы представления результатов измерений

В целях единообразия отражения результатов и погрешностей измерений необходимо применять однотипные показатели точности измерений и формы представления результатов измерений.

Распространенной ошибкой при оценке результатов и погрешностей измерений является их вычисление и запись с боль­шим числом значащих цифр. Этому способствует применение компьютеров, дающие результаты расчета с четырьмя и более значащими цифрами. Однако погрешности измерений не всегда требуется знать с очень высокой точностью. В частности, для технических измерений допустимой считается погрешность оце­нивания погрешности в 15...20 %. Так, вычислив значение по­грешности 0,4359, а результата измерения —- 12,7254, надо подумать, имеет ли смысл запись результата с такой погрешностью. Ведь если исходить из того, что недостоверность результата уже характеризуется десятыми долями (0,4...), то вклад последую­щих значащих цифр в погрешность будет все менее весом. Поэтому и необходимо ограничивать число значащих цифр в записи результата измерения.

Установлено, что в численных показателях точности измерений и их погрешностях должно быть не более двух значащих цифр. Так, при записи наименьшие разряды числовых значений результата измерения и численных показателей точности должны быть одинаковы. В приведенном примере оценка погрешности должна быть записана как 0,43 или 0,4, а результат измерения — 12,72 или 12,7 соответственно. Расчет погрешностей округления погрешности измерения показывает, что при округлении до двух значащих цифр она составляет не более 5 %, а при округлении до одной значащей цифры — не более 50 %. При этом характеристики погрешности оценивают приближенно; точность оценок согласовывают с целью измерения.

Правила округления результатов и погрешностей измерений

1. Результат измерения округляют до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. Лишние цифры в целых числах заменяют нулями. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерений оканчивается нулями, то нули отбрасывают до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности.

Пример 2.3. Результат 4,0800, погрешность 0,001; результат округляют до 4,080.

2. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5,то остальные цифры числа не изменяют. Лишние цифры в целых числах заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают.

Пример 2.4. Число 174437 при сохранении четырех значащих цифр должно быть округлено до 174400, число 174,437 —до 174,4.

3. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна.5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу.

Пример 2.5. При сохранении трех значащих цифр число 12567 ок­ругляют до 12600, число 125,67 до 126.

4. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней — неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная.

Пример 2.6. Число 232,5 при сохранении двух значащих цифр ок­ругляют до 232, а число 233,5 до 234.

5. Погрешность результата измерения указывают двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной —если первая цифра равна 3 или более.