фн12матан (фн12матан вся теория к экзамену), страница 6
Описание файла
Документ из архива "фн12матан вся теория к экзамену", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "фн12матан"
Текст 6 страницы из документа "фн12матан"
-Теорема:
Для того, чтобы функция u(x) была первым интегралом системы dx/dt =f(x), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в области D соотношению:
-Доказательство:
Пусть u(x) - первый интеграл системы dx/dt =f(x). Рассмотрим произвольную точку x0 ∈ D. Если x(t)=g(t) - решение системы dx/dt =f(x), удовлетворяющее начальному условию g(t0) = x0 ∈ D, то, согласно определению первого интеграла, V(t) = u(g(t)) = const и dV/dt=0. В соответствии с , производная dV/dt совпадает с полной производной по t функции u(x) в силу системы dx/dt =f(x) на решение g(t).Поэтому в точке x0 : du/dt = dV/dt =0
т.е. в области D выполнено равенство:
Докажем обратное утверждение. Пусть выполнено:
и x(t)=g(t) - решение системы dx/dt =f(x), фазовая траектория которого лежит в D, тогда с учетом имеем
т.е. u(g(t)) не зависит от t и, следовательно, в соответствии с определением dx/dt =f(x), u(x)-первый интеграл системы dx/dt =f(x).
-Геометрический смысл:
условие имеет простой геометрический смысл. В любой точке x ∈ D вектор grad(u(X)) градиента скалярной функции u(x) ортогонален к ее поверхности уровня S, задаваемой уравнением u(x)=u(X). Из равенства следует, что в каждой точке X ∈ S вектор f(x) касается этой поверхности. Поэтому фазовая траектория, проходящая через точку X∈ S, лежит на поверхности S.