фн12матан (фн12матан вся теория к экзамену)

Вопрос 1

(Сформулировать определение первообразной. Сформулировать свойства первообразной и неопределенного интеграла)
функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале от (а,b) если:
1) F(x) дифференцируема на (а,b).
2) F(x)’= f(x) и существует х Є(а,b).

Теор. Пусть F₁(x) и F₂(x)- первообразные функции f(x) на (a,b).Тогда F₁(х)=F₂(x)+C. (две первообразные одной функции отличаются на константу)

Док-во: Рассмотрим функцию Ф(х)= F₁(x)- F₂(x) => Ф’(x)=F’₁(x)-F’₂(x)=f(x)-f(x)=0 для любого Х из интервала (а,в). Покажем что если Ф’(x)=C=const для любого Х из интервала (а,в). Пусть х₁,х₂ принадлежат интервалу (а,в), х1<х2: Тогда согласно теореме Лагранжа Ф(х₂)-Ф(х₁)=Ф’(₰)(х₂-х₁),Ф’(x)=0 для любого Х из интервала (а,в)=>Ф’(₰)=0=> Ф(х₂)-Ф(х₁)=0 для любого Х из интервала (а,в)Ф(х)=С=> F₁(х)=F₂(x)+C.Таким образом, вся совокупность первообразных функции f(x) описывается выражением F(x) + C, где F(x) — какая-либо фиксированная первообразная, а C — произвольная постоянная. Совокупность всех первообразных функции f(x) (на некотором промежутке) называется неопределенным интегралом и обозначается

Свойства неопределенного интеграла:
1) , ;
2 где F(x)=df(x)
3) α ≠ 0;

4)

Вопрос 2

(Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Интегрирование простейших дробей)
1) Разложение правильной рациональной дроби на простейшие или метод неопределенных коэффициентов

B курсе высшей алгебры доказывается, что всякая правильная рациональная дробь P(x)/Q(x), знаменатель которой записывается в виде:

где , ..., , , ..., , , ..., − вещественные числа; квадратные трехчлены не имеют

вещественных корней, и .

следующим образом представляется в виде суммы простейших дробей.

При этом если многочлен Q(x) не имеет вещественных корней, то в написанном разложении отсутствуют линейные множители, а если все корни этого многочлена вещественны, то отсутствуют квадратные трехчлены. Отметим еще, что разложение единственно (с точностью до порядка сомножителей).

Интегрирование простейших дробей

Вопрос 3

(Сформулировать свойства определенного интеграла. Доказать теорему о сохранении определенным интегралом знака подынтегральной функции)
1) ;
2) ;
2a) Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b], то и и интегр. на [a,b];
3) Линейность. Пусть функции f1(x) и f2(x) интегрируемы на отрезке [a, b], и пусть α1 и α2 - произвольные вещественные числа. Тогда функция α1f1(x) + α2f2(x) также интегрируема на [a, b], и

Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек выполняется  . Перейдем в этом равенстве к пределу при  . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства. 

4) Если f(x) интегрируема на [a, b], то f(x) интегрируема на любом отрезке [α, β] [a, b];

5) Аддитивность. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезках [a, c] и [c, b]. Тогда она интегрируема и на отрезке [a, b], причем ;

Док-во. Если f(x) удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку[a,b], то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам [a,c] и [c,b]. Будем брать такие разбиения отрезка[a,b], чтобы точка c являлась одним из узлов x_i:c=x_i0,. Тогда. В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для . Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и .

6) Пусть функции f1(x) и f2(x) интегрируемы на отрезке [a, b], и пусть в каждой точке x этого отрезка выполняется неравенство f1(x) ≤ f2(x). Тогда ;Док-во: Для любого разбиения отрезка и любого выбора nочек при . Переходя в этом неравенстве к пределу при  , получаем требуемое неравенство.

7) Теорема (об оценке)
Значение определенного интеграла заключено между произведениями наименьшего и наибольшего значений подынтегральной функции на длину интервала интегрирования, т.е.

где M и m -  соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) в интервале [a, b];Док-во: Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство. 

8)Теорема (об оценке модуля определенного интеграла)
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] . Тогда функция |f(x)| также интегрируема на этом отрезке, и Док-во . 
9) Терема( о среднем)
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] . Тогда существует точка ξ ∈ [a, b] такая, что Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что . 

10) -Теорема (о сохранении определенным интегралом знака подынтегральной функции)

Если f(x) интегрируема на [a, b] и f(x) 0 и x Є[a,b], то
-Доказательство:

Составим сумму т.к. f( ) и

Что и требовалось доказать!

Вопрос 4

(Доказать теорему об оценке определенного интеграла)

- Теорема:

Значение определенного интеграла заключено между произведениями наименьшего и наибольшего значений подынтегральной функции на длину интервала интегрирования, т.е. где M и m - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) в интервале [a, b];

- Доказательство:

Возьмем две функции M−f(x) и m−f(x). Первая из них в интервале [a, b] неотрицательна, вторая неположительна. Значит по теореме о знаке интеграла:

и

и

что и требовалось доказать. Из доказательства теоремы о знаке интеграла следует, что знаки неравенств могут перейти в знаки равенств только в том случае, когда функция f(x) постоянна.

Вопрос 5

(Доказать теорему об оценке модуля определенного интеграла)

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Тогда функция |f(x)| также интегрируема на этом отрезке, и

-Доказательство:

Факт интегрируемости функции |f(x)| нетрудно доказать для кусочно-непрерывной функции f(x); в общем случае принимаем это без доказательства (сама теорема принимается без доказательств). Запишем очевидное неравенство для интегральных сумм: .Переходя к пределу при стремлении к нулю диаметра разбиения, получаем требуемое.

Заметим, что (1) можно обобщить и на случай a > b. В этом случае соответствующее неравенство приобретает вид:

Вопрос 6

- Теорема:

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда существует точка ξ ∈ [a, b] такая, что - Доказательство:

Т.к. f(x) непрерывна на [a, b], то эта функция достигает на этом отрезке своего наименьшего значения m и наибольшего значения M и принимает все значения из отрезка [m, M]. Далее, из неравенства m ≤ f(x) ≤ M получаем, что Или Поэтому существует число ξ ∈ [a, b] такое, что Отсюда легко следует требуемое. Теорема доказана.

-Геометрический смысл:

доказанной теоремы заключается в том, что на отрезке [a, b] найдется точка ξ такая, что площадь соответствующей криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием (b – a) и высотой f(ξ); при этом предполагается, что f(x) неотрицательна на [a, b]

Вопрос 7

(Доказать теорему о производной от интеграла по его верхнему пределу)

-Определение: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то для любого x, a ≤ x ≤ b, существует интеграл

который называется интегралом с переменным верхним пределом.

-Теорема:

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и непрерывна в некоторой точке x этого отрезка. Тогда функция (1) дифференцируема в точке x, и F’(x)=f(x)

-Доказательство: Достаточно доказать, что

Оценим сверху модуль выражения под знаком предела в левой части этого равенства;

имеем: Т.к. функция f непрерывна в точке x, то для любого > 0 существует число > 0 такое, что при любом t, t-x < , выполняется неравенство Поэтому для указанных t Окончательно

если . Это означает справедливость (2). Теорема доказана.

-Следствие: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она имеет на этом

отрезке первообразную. В качестве такой первообразной можно взять, например, интеграл

с переменным верхним пределом.

Вопрос 8

(Вывести формулу Ньютона-Лейбница)

- Теорема:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и (x) - какая-либо первообразная этой функции на указанном отрезке, то