фн12матан (фн12матан вся теория к экзамену), страница 5

Решение представленное в таком виде .

Вопрос 31, 32

(Вывести формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных и комплексных корней характеристического уравнения)

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид где a₁...a_n – вещественные числа. Уравнение:

называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения. Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Напишем соответствующее характеристическое уравнение:

Для хар. уравнения возможен один (и только один) из следующих случаев:1) Корни уравнения (3) вещественны и различны. Обозначим эти корни k₁ и k₂. Тогда фундаментальную систему решений уравнения (2) образуют функции: и

а общее решение имеет вид Здесь нужно проверить лишь линейную независимость решений y₁ и y₂; чтобы убедиться в этом, составим определитель Вронского:

Таким образом, y₁ и y₂ линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную

систему решений уравнения (2).

2) Уравнение (3) имеет один вещественный корень кратности 2; обозначим этот корень k₀. Тогда фундаментальную систему решений уравнения (2) образуют функции и , а общее решение этого уравнения есть Проверим, что y₂ есть решение уравнения (2). Т.к. k₀ - корень кратности 2 характеристического уравнения (3), то Далее: и Отсюда:

т.е. y₂ – решение уравнения (2). Проверим линейную независимость y₁ и y₂ :

Таким образом, y₁ и y₂ образуют фундаментальную систему решений уравнения (2).

3) Характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни λ_1,2 = α ± i β, β ≠ 0. В этом случае фундаментальная система решений уравнения (2) имеет вид а общее решение записывается так: Здесь в проверке нуждается лишь линейная независимость решений y₁ и y₂; имеем

Поэтому y₁ и y₂ линейно независимы

Вопрос 33

(Частное решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (являющейся квазимногочленом). Сформулировать и доказать теорему о наложении частных решений)

-Теорема (о наложении частных решений):

Пусть имеются два линейных неоднородных уравнения:
где
и пусть y₁ = y₁(x) и y₂ = y₂(x) – решения этих уравнений. Тогда y₁(x) + y₂(x) будет решением уравнения L[y] = b₁(x) + b₂(x).

-Доказательство:

Имеем
т.е. y₁ +y₂ – решение уравнения L[y] = b₁(x) + b₂(x).

Теорема доказана.

Квазимногочленом называется сумма нескольких слагаемых вида:

где P(x) и Q(x) – многочлены.

Частное решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами : L[y] = b(x)

и квазимногочленом в правой части рекомендуется искать методом неопределённых коэффициентов (методом подбора). Для каждого слагаемого данного вида, входящего в правую часть решаемого уравнения, частное решение уравнения

ищется в виде:

где r = 0, если α+i β не есть корень характеристического уравнения, и r равно кратности этого корня в противном случае; R(x) и S(x) – многочлены с неопределёнными коэффициентами, степень каждого из которых равна максимальной из степеней P(x) и Q(x). Для нахождения неопределённых коэффициентов выражение (8) подставляется в соответствующее уравнение, и затем приравниваются коэффициенты при подобных членах слева и справа. После того, как частные решения найдены для всех слагаемых, входящих в b(x), частное решение исходного уравнения определяется с помощью теоремы о наложении решений.

Вопрос 34

(Метод Лагранжа вариации постоянных для нахождения решения ЛНДУ 2-го порядка)

-Определение:

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

-Метод Лагранжа (вариации постоянных):

Пусть y₁ = y₁(x), ..., y_n = y_n(x) – фундаментальная система решений однородного уравнения L[y] = 0. Тогда частное решение неоднородного уравнения L[y] = b(x) можно искать в виде

где функции C₁ = С₁(x), ..., C_n = C_n(x) определяются из системы

Так как определитель

то из этой системы C'₁, ..., C'_n определяются однозначно, а сами функции C₁, ..., C_n – с точностью до произвольных постоянных. Если в (2) подставить именно эти функции

C₁ = C₁(x), ..., C_n = C_n(x), то получим частное решение уравнения (1).

-Метод Лагранжа для функции второго порядка (n=2):

Уравнение в этом случае имеет вид

где a₁(x), a₂(x), b(x) – непрерывные на некотором промежутке функции. Частное решение

данного уравнения ищем в виде

где y₁(x), y₂(x)– фундаментальная система решений однородного уравнения

a C₁ = C₁(x) и C₂ = C₂(x) – подлежащие определению функции. Предположим, что они удовлетворяют системе:

Тогда

Отсюда

– что и требовалось доказать!

Вопрос 35

(Сформулировать определение дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной, и сформулировать задачу Коши для такого уравнения. Описать метод сведения этого уравнения к нормальной системе ду)

Всякую систему, в которой уравнения разрешены относительно старших производных, а число уравнений равно числу неизвестных, можно с помощью введения новых неизвестных функций свести к нормальной системе. Рассмотрим соответствующий прием для системы из двух уравнений:

Пусть y₁₁ = y₁, y₁₂ = y’₁, ..., y_1n = y₁^(n-1), y₂₁ = y₂, y₂₂ = y’₂, ..., y_2m = y₂^(m-1). Относительно

этих функций получаем такую (нормальную) систему:

Ясно, что одно уравнение n -го порядка этим приемом будет сведено к нормальной системе относительно n неизвестных функций. В принципе верно и обратное: при определенных условиях нормальную систему можно свести к одному уравнению. Пусть имеется нормальная система двух уравнений

Продифференцируем по x первое уравнение и подставим в получившееся выражение вместо y’₂, правую часть второго уравнения системы:

Затем из первого уравнения системы определим y₂ как функцию x, y₁, y’₁, т.е. y₂ = y₂(x, y₁, y’₁) и поставим эту функцию вместо y₂ в полученное ранее равенство. Т.о., следствием данной системы является уравнение второго порядка относительно одной неизвестной функции y₁ = y₁(x). Аналогичным приемом можно получить и уравнение относительно y₂ = y₂(x).

Вопрос 36

(Сформулировать задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений и теорему Коши о существовании и единственности решения этой задачи. Описать метод сведения нормальной системы к одному дифференциальному уравнению высшего порядка)

-Определение:

Нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка называется система вида

или

-Определение:

Задача Коши для Нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка ставится следующим образом. Дана точка (x₀, y₁₀, ..., y_n0), принадлежащая области определения правых частей этой системы; требуется найти решение y_i=y_i(x), i=1, …, n удовлетворяющее начальным условиям y_i(x₀)=y_i0 , i=1, ..., n.

-Теорема (Коши существования и единственности для нормальной системы): Пусть правые части системы

определены, непрерывны и имеют непрерывные частные производные по переменным y₁ ,... ,y_n в некоторой области G . Тогда для любой точки (x₀, y₁₀, ..., y_n0) G существует решение данной системы, удовлетворяющее начальным условиям y_i'(x₀)=y_i0, i=1, ..., n. Любые два решения этой системы, удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям, совпадают всюду, где они оба определены. Без доказательства.

Вопрос 37

(Сформулировать определение первого интеграла нормальной системы дифференциальных уравнений. Описать методы нахождения первых интегралов и их применение для решения системы дифференциальных уравнений)

-Определение:

Функцию u(x)=u(X₁,X₂,...,X_n), определённую и непрерывную вместе со своими частными производными в некоторой области D изменения фазовых переменных X₁,X₂,...,X_n называют первым интегралом системы dx/dt =f(x)(где x(t)=(X₁(t),X₂(t),...,X_n(t)) - вектор-функция скалярного аргумента t с координатными функциями X_i (t), определёнными в некотором промежутке Т⊆ R числовой прямой R, а f(x)=(f₁(x),...,f_n(x)) - векторная функция векторного аргумента x с координатными функциями f_i(x), i=1,n ,определёнными и непрерывно дифференцируемыми в некоторой области D⊆ R n-мерного фазового пространства в области D ,если при подстановке в u(x) произвольного решения x=g(t) этой системы ,траектория которого целиком расположена в D ,получим постоянную относительно t величину. Иными словами, функция u(g(t)) зависит только от выбора решения g(t), но не от независимого переменного t.