фн12матан (фн12матан вся теория к экзамену), страница 3

- Теорема (признак сравнения):

Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b] при любом b, и пусть для любого x ≥ a выполняется неравенство 0 ≤ f(x) ≤ g(x).

Тогда из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости , следует расходимость

- Доказательство:

Из неравенства f(x) ≤ g(x) следует, что для любого b

Если второй из этих интегралов сходится, то, ввиду неотрицательности g(x) для некоторой константы C при всех b a выполняется неравенство . Но тогда из предыдущего неравенства для интегралов следует, что при b ≥ a:

Если интеграл расходится, а интеграл сходится, то мы получаем противоречие с только что доказанным. Поэтому расходимость первого интеграла влечет

расходимость второго, Теорема доказана.

-Теорема (признак сравнения в предельной форме):

Пусть функции f(x) и g(x) положительны при x ≥ a и интегрируемы на любом отрезке [a, b]. Тогда, если существует предел

то интегралы и   сходятся или расходятся одновременно.

-Доказательство:

В теореме содержатся четыре утверждения. Докажем лишь одно из них: если интеграл сходится, то сходится и интеграл . Возьмем . Тогда при всех x ≥ выполняется неравенство

Т.к. , то отсюда следует, что при всех указанных x выполняется неравенство g(x) < f(x). На основании предыдущей теоремы получаем, что сходится интеграл

а тогда сходится и интеграл . Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично. Теорема доказана.

Замечание:

Из этой теоремы вытекает, что если f(x) и g(x) положительны (по крайней мере для достаточно больших x) и являются эквивалентными бесконечно малыми при , то интегралы от этих функций указанного вида сходятся или расходятся одновременно.

-Теорема (о сходимости абсолютно сходящегося интеграла):

Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

-Доказательство:

Здесь, как обычно, предполагается, что функция f(x) определена при x ≥ a и интегрируема на каждом отрезке [a, b]. Напишем очевидное неравенство, верное для любого x ≥ a :

Т.к. по условию сходится, то сходится и интеграл . Следовательно, по признаку сравнения сходится интеграл

Но тогда сходится и интеграл

Теорема доказана.

Вопрос 16

(Фигура ограничена кривой y = f(x) ≥ 0, прямыми x = a, x = b и y = 0. Вывести формулу для вычисления с помощью определенного интеграла площади этой фигуры)

Рассмотрим вопрос о вычислении площади с помощью определенного интеграла. Выше было установлено, что при f(x) > 0 площадь S соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле Если на отрезке [a, b] функция f(x) неположительная, т.е. f(x) ≤ 0, то, очевидно, Пользуясь этими замечаниями, нетрудно установить, что если плоская геометрическая фигура ограничена сверху и снизу соответственно графиками непрерывных функций (x) и (x), (x) > (x), a ≤ x ≤ b, а с боков - отрезками прямых x = a и x = b, то площадь S этой фигуры вычисляется по формуле Если плоская кривая задана параметрически, т.е. в виде x = (x), y = (x), причем , , a < b, > 0 на [a, b]

то эту же кривую можно задать и явным уравнением y = y(x), a ≤ x ≤ b

где y(x) = ; − функция, обратная по отношению к (t). Все это хорошо известно из начального курса анализа.Если y(x) > 0, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно вычислить следующим образом:

Т.о., в данном случае справедлива формулa Нетрудно видеть, что при < 0 эта формула справедлива лишь с точностью до знака; поэтому в общем случае

Вопрос 17

(Фигура ограничена лучами , и кривой . Здесь r и – полярные координаты точки, 0 ≤ α < β ≤ 2π. Вывести формулу для вычисления с помощью определенного интеграла площади этой фигуры)

Криволинейным сектором называется геометрическая фигура, ограниченная отрезками лучей = α, = β и кривой r = r( ), ∈ [α, β]

Для вычисления площади криволинейного сектора рассмотрим разбиение отрезка [α, β] и предположив, что r( ) непрерывна на рассматриваемом отрезке, напишем очевидное неравенство

в котором S_i − площадь криволинейного сектора, отвечающего изменению на отрезке [ −1, ]; r(η_i) и r(ξ_i) − соответственно наименьшее и наибольшее значения функции r( ) на указанном частичном отрезке разбиении; при составлении неравенства (1) была использована известная школьная формула для площади криволинейного сектора. Кроме того, мы предполагаем дополнительно, что r( ) непрерывна на отрезке [α, β]. Суммируя неравенства (1) по i = 1, 2, ..., n получим, что для площади S рассматриваемого криволинейного сектора справедливо неравенство Переходя здесь к пределу при → 0, получаем требуемую формулу:

Вопрос 18

(Тело образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x) ≥ 0, прямыми x = a, x = b и y = 0 (a < b). Вывести формулу для вычисления с помощью определенного интеграла объема тела вращения)

Определенные интегралы можно применять и для вычисления объемов. Пусть тело M заключено между плоскостями x = a и x = b, и пусть для каждой точки x ∈ [a, b] известна площадь S(x) фигуры, получающейся в сечении тела M плоскостью, перпендикулярной оси абсцисс и проходящей через указанную точку. Предположим далее, что проекции двух сечений тела M такими плоскостями на плоскость OYZ лежат одна в другой (во всяком случае, для сечений, отвечающих достаточно близким плоскостям). Разобьем отрезок [a, b] на части точками Тогда объем V_i части M_i тела, расположенной между плоскостями x = x_i−1 и x = x_i в силу сделанного выше предположения о проекциях сечений тела M при достаточно малом диаметре разбиения удовлетворяет неравенству где S(η_i) и S(ξ_i) − соответственно минимальное и максимальное значение функции S(x) на отрезке [x_i−1, x_i]; здесь мы предполагаем дополнительно, что S(x) непрерывна на [a, b] Геометрический смысл величин S(η_i)∆x_i и S(ξ_i)∆x_i очевиден - это объемы прямых круговых цилиндров, один из которых содержится в части M_i тела M, а другой содержит внутри себя эту часть. Переходя в этом неравенстве к пределу при max_i∆x_i →0, получим неравенство Если тело M получено вращением графика непрерывной функции y = f(x), a ≤ x ≤ b, то, очевидно,

и мы получаем такую формулу для вычисления объема тела вращения:

Вопрос 19

(Кривая задана в декартовых координатах уравнением y = f(x), где x и y – декартовые координаты точки, a ≤ x ≤ b. Вывести формулу для вычисления длины дуги этой кривой)

Непрерывно дифференцируемая плоская кривая Γ спрямляема, и производная S’(t) переменной длины дуги вычисляется по формуле: Т.к. одной из первообразных функции из правой части этого равенства является то отсюда, поскольку F(a) = 0, следует равенство: Поэтому для длины всей кривой имеем формулу: Если кривая Γ задана явно уравнением y = y(t), a ≤ x ≤ b, то, беря x в качестве параметра, получаем такую формулу: для длины пространственной кривой Γ, заданной уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t)

Вопрос 20

(Кривая задана в полярных координатах уравнением r = r( ) ≥ 0, где r и – полярные координаты точки, α < < β. Вывести формулу для вычисления длины дуги этой кривой)

Пусть кривая Γ задана в полярных координатах:

Тогда

Поэтому

Вопрос 21

(Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Бернулли (метод “uv”) и методом Лагранжа (вариации произвольной постоянной))

1)К линейным уравнениям первого порядка сводится уравнение Бернулли

Если , то , и относительно z имеем линейное уравнение:

Решив его, найдем z, а затем и y. При α > 0 уравнению Бернулли удовлетворяет также функция, тождественно равная нулю. Другой подход к решению уравнений Бернулли состоит в следующем. Пусть y = u · v; тогда:

2)Уравнение вида: называется уравнением с разделяющимися переменными

3) Уравнение называется линейным

функции p(x) и f(x) будем считать непрерывными на некотором интервале I. Чтобы решить уравнение, найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

Пусть P(x) – какая-либо первообразная функции p(x) на интервале I. Тогда, как легко проверить, функция

есть общее решение уравнения. Далее применим метод вариации постоянной, состоящий в том, что постоянная C, входящая в общее решение, заменяется функцией C(x); затем эта последняя функция определяется из исходного неоднородного уравнения. Имеем: