фн12матан (фн12матан вся теория к экзамену), страница 2

-Доказательство:

Одной из первообразных функции f(x) является

две первообразные функции f(x) различаются самое большее на константу, т.е. Подставляя сюда x = a , получаем, что C = (a). Поэтому При x=b получаем требуемую формулу. Теорема доказана.

Доказанную теорему часто называют основной теоремой интегрального исчисления. Формула (1) называется формулой Ньютона-Лейбница; эту формулу часто записывают в виде правую часть при этом называют двойной подстановкой от a до b. Заметим еще, что формула Ньютона-Лейбница справедлива и при a ≥ b.

Вопрос 9

(Сформулировать и доказать теорему об интегрировании подстановкой для определённого интеграла)

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке I, а функция ϕ непрерывно дифференцируема на отрезке [α, β], причем ϕ(t) ∈ I для любого t ∈ [α, β]. Тогда, если a = ϕ(α), b = ϕ(β), то

-Доказательство:

В силу сделанных предположений оба интеграла, входящие в последнее равенство, существуют. Пусть F(x) − первообразная функции f(x) на отрезке I; эта первообразная существует в силу непрерывности f(x) на I. Тогда F( (t)) будет первообразной функции f( (t)) на отрезке [α, β], что проверяется непосредственно. По формуле Ньютона-Лейбница имеем

Из двух написанных равенств следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

Вопрос 10

(Сформулировать и доказать теорему об интегрировании по частям для определенного интеграла)

Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b]. Тогда

-Доказательство:

Рассмотрим функцию ; Следовательно, F(x) − первообразная для u(x)· v’(x). По формуле Ньютона-Лейбница получаем

Вопрос 11

(Сформулировать свойства определенного интеграла. Интегрирование периодических функций, интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат)

-Теорема (об интеграле от периодической функции):Если периодическая с периодом T > 0 функция f(x) интегрируема на каком-либо отрезке длины T , то она интегрируема на любом отрезке, и интеграл не зависит от α,f(x+T)=f(x).-Доказательство:Для упрощения доказательства предположим дополнительно, что f(x) непрерывна при всех x. Напишем очевидное равенство: В последнем интеграле сделаем замену переменной(x=u+T,x=T => u=0;dx=du,x=a+T=>u=a): Следовательно, в равенстве: Теорема доказана.

Пусть f(x) интегрируема на отрезке [−α; α]. Тогда Предположив, что функция f(x) непрерывна, сделаем в первом интеграле замену x = −t; получим: Отсюда Поэтому в случае четной функции а в случае нечетной

Вопрос 12, 13, 14

(Сформулировать свойства несобственного интеграла 1-го рода. Сформулировать и доказать признак сходимости по неравенству, предельный признак сравнения, признак абсолютной сходимости для несобственных интегралов 1-го рода)

Определение Предположим, что функция f(x) задана на бесконечном промежутке вида [a,+  и интегрируема на любом конечном отрезке [a,b] , где   . Таким образом, можно рассмотреть функцию, зависящую от верхнего предела, как от переменной:

Если эта функция имеет предел при   , то число   называется значением несобственного интеграла первого рода: а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.

1.(адитивность) Если существует  , то   существует  . При этом.

2.(линейность) Если , и сходятся ,то сходится и равен

3.Если и сходятся, f(x) g(x) ,то

4. Если существуют   и  , то существует.

КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛА.

Для сходимости интеграла необходимо и достаточно выполнения условия :

ДОК. Сходимость интеграла равносильна существованию предела , где

- первообразная функции на . Для существования необходимо и достаточно по критерию Коши для предела функции, чтобы

.

Сформулируем теоремы сравнения 1 и 2 для несобственных интегралов на .

 Признак сравнения по неравенству. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a,b] и при   удовлетворяют неравенствам  . Тогда: 
если сходится интеграл  , то сходится интеграл  ; 
если расходится интеграл  , то расходится интеграл   

Док-во:g(x)≥0, xϵ[a,+ ) Покажем, что Ф(b)=   неубывает. Пусть b1<b2,Ф(b2)= Пусть сходится =>

неубывает и ограниченно сверху .Пусть расходится д.п. сходится сходится!!!!!!!ПРОТИВОРЕЧИЕ

(Предельный признак сравнения)Пусть f(x) и g(x) определены на [a, интегрируемы на если сходится или расходится одновременно.Док-во: выберем ɛ так ,что ʎ+ɛ>0.1) пусть сходится сходится(свойство линейности) сходится .

(теорема о сходимости абсолютно сходящегося интеграла)  В некоторых приложениях несобственных интегралов возникает необходимость использования углубленного понятия сходимости. (Одно из таких приложений рассматривается в разделе "Интегралы, зависящие от параметра".) С этой целью рассмотрим следующие возможные случаи.

1. Пусть функция  f(x)  интегрируема на полубесконечном интервале  [A, ∞). Если наряду с интегралом    сходится и интеграл   , то интеграл     называется абсолютно сходящимся. Говорят также, что функция  f(x)  абсолютно интегрируема на промежутке  [A, ∞).

2. Если интеграл     сходится, тогда как интеграл     расходится, то интеграл     называется условно сходящимся.

      Заметим, что из сходимости интеграла     вытекает сходимость интеграла     , тогда как обратное утверждение является несправедливым.Док-во:Предпологается что функция f(x) определена при : т.к. по условию сходится, то сходится и интеграл следовательно, по признаку сравнения сходится интеграл НО тогда сходится интеграл ЧТД.

Определенный интеграл от неограниченной на отрезке функции не существует; функцию, заданную на неограниченном промежутке, нельзя проинтегрировать по этому промежутку. Эти ограничения оказываются неудобными при рассмотрении многих теоретических и прикладных задач. Поэтому возникает необходимость расширить понятие интеграла. Это делается с помощью дополнительного предельного перехода. Рассмотрим сначала интегралы по неограниченному промежутку.

Пусть функция f(x) определена при x > a и интегрируема на любом отрезке [a, b]. Тогда на промежутке [a, +∞) определена функция Если существует (конечный) предел то этот предел называется несобственным интегралом (1-го рода) от функции f(x) по промежутку [a, +∞) и обозначается В случае существования предела последний интеграл называют сходящимся, в противном случае - расходящимся. Если f(x) > 0 и интеграл сходится, то значение этого интеграла можно истолковать геометрически как площадь бесконечной криволинейной трапеции. Для функции f(x), заданной для x ≤ b и интегрируемой на любом отрезке [a, b], можно рассмотреть несобственный интеграл Если же функция f(x) определена на всей вещественной прямой и интегрируема на любом отрезке [a, b], то, выбрав произвольно точку c на этом отрезке, можно рассмотреть несобственный интеграл Такой интеграл считается сходящимся, если существуют оба предела в правой части последнего равенства. Нетрудно проверить, что сходимость (т.е. существование) интеграла и его значение не зависят от выбора точки c. Из определений несобственных интегралов следует, что для непрерывной функции f(x) в случае сходимости соответствующих интегралов справедливы следующие обобщения формулы Ньютона-Лейбница: где F(x) - первообразная функции f(x) на соответствующем промежутке

Вопрос 15

(Сформулировать определение несобственного интеграла 2-го рода и признаки сходимости таких интегралов)

Пусть функция f(x) определена на [a, b) и интегрируема на любом отрезке [a.n] , неограничена при .Несобственный интеграл от функции f(x) по промежутку [a,b) называется

называется несобственным интегралом (2-го рода) от неограниченной функции f(x) по промежутку [a, b) и обозначается: (интеграл называют сходящимся если предел существует и конечен, и расходящемся есть предел равен бесконечности или не существует).Если F(x) первообразная f(x) на [a,b), то = сходится тогда и только тогда когда существует конечный .