фн12матан (фн12матан вся теория к экзамену), страница 4

Отсюда где интеграл в правой части означает какую-любо фиксированную первообразную соответствующей функции (а не всю совокупность этих первообразных). Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

Вопрос 22

(Сформулировать теорему Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения n-го порядка)

Задачей Коши для дифференциального уравнения называют задачу нахождения решения удовлетворяющую начальным условиям y( где заданные числа.

Теорема Коши(о существовании и единственности решения для дифференциального уравнения n-го порядка): Пусть в области D из R ⁿ⁺¹ функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные y,y‘,…y^(n-1). Тогда для любой точки (x_0,y₀,y₀',…,y₀^(n-1)) D решение задачи y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y’,…t^(n-1)) .

(Интегрирование дифференциальных уравнений n-го порядка, допускающих понижение порядка)

1. Уравнение вида . После n-кратного интегрирования получается общее решение

Y=

Где и где

1. Уравнение не содержит искомой функции и её производных до порядка k-1 включительно: F(x,y^(k),y^(k+1),…,y⁽ⁿ⁾)=0

Порядок такого уравнения можно понизить на единиц заменой y^(k)(x)=p(x) . Тогда уравнение примет вид

F(x,p,p’,…,p^(n-k))=0

Из последнего уравнения, если это возможно, определяем p=f(x,C₁,C₂,…..,C_n-k), а затем находим y из уравнения y^(k)=f(x,C₁,C₂,…C_n-k) k-кратным интегрированием.

1. Уравнение не содержит независимого переменного:

F(y,y’y”,…,y⁽ⁿ⁾)=0

Подстановка y’=p позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этом рассматривается как новая неизвестная функция от y:p=p(y). Все производные y’,y”,…,y⁽ⁿ⁾ выражаются через производные от новой неизвестной функции p по y

y’=

y”= =

y”’= ² etc

Подставив эти выражения вместо (y,y’y”,…,y⁽ⁿ⁾) в уравнение, получим дифференциальное уравнение (n–1)-го порядка.

Вопрос 23

(Сформулировать теорему Коши о существовании и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка)

Пусть функция f(x), непрерывна на промежутке T R.Тогда для любой точки и для любых чисел решения задачи Коши существует и единственно.

(Доказать свойства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка)

Линейный Оператор(действует на множестве функций имеющих производную до n-го порядка включительно).линейное неоднородное уравнение будем записывать в виде , а однородное

Свойства решений линейных д.у.n-го порядка.

1) если и решения однородного д.у., то для любого α,β – тоже решенияд.у. Док-во. =0 следствие решения линейного однородного д.у. образуют линейное пространство.

2)если и -решения то их разность равна нулю.Док-во:

3)если решение . , а решение то их сумма решение .Док-во:

Вопрос 24

(Сформулировать определения линейно зависимой и линейно независимой систем функций)

1) Система функций называется линейно зависимой на (a, b), если существуют такие числа ,из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для любогоx (a, b) имеет место равенство:

Замечание: Если заданы две функции и то их линейная зависимость равносильна условию пропорциональности этих функций: , где A- некоторая постоянная.

2) Система функций называется линейно независимой на (a, b), если равенство имеет место для x (a, b) только тогда, когда

Замечание:При задании двух линейно независимых функций и , их отношением будет некоторая функция, не являющаяся постоянной:

(Сформулировать и доказать теорему о вронскиане линейно зависимых функций)

Если система функций линейно зависима на интервале (a, b), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.

-Доказательство:

Если функции линейно зависимы на интервале (a, b), то найдутся числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что для любого x (a, b) (1)

Продифференцируем по x равенство (1) n - 1 раз и составим систему уравнений:

Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно . Определитель этой системы - определитель Вронского (2). При любом x (a, b) эта система имеет нетривиальное решение , следовательно, в каждой точке её определитель равен нулю. Итак, W(x) = 0 при любом x (a, b), т.е. W(x) = 0 на (a, b).

Вопрос 25

(Сформулировать определение линейно зависимой и линейно независимой систем функций. Сформулировать и доказать теорему о вронскиане системы линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка)

1) Система функций называется линейно зависимой на (a, b), если существуют такие числа ,из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для любого x (a, b) имеет место равенство:

2) Система функций называется линейно независимой на (a, b), если равенство имеет место для x (a, b) только тогда, когда

Определителем Вронского называется определитель

-Теорема:

Пусть решение ДУ с непрерывными коэффициентами. Чтобы эти функции были линейно независимы на (а, b)

-Доказательство:

Допустим противное

СЛАУ имеет нетривиальное решение

Рассмотрим - решение ДУ

Примем

Задача Коши , , … имеет единственное решение . Система линейно независима. Противоречие!

Пусть для . Предположим, что решение линейно зависимо для . Противоречие! Теорема доказана.

Вопрос 26

(Сформулировать и доказать теорему о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка)

Систему из n линейно независимых решений ЛОДУ называется ФСР этого ДУ

-Теорема:

Для ДУ с непрерывными коэффициентами ФСР.

-Доказательство:

Пусть решение задачи Коши

Пусть решение задачи Коши

= =1 линейно независимые.

выполняются условия теоремы Коши ФСР ДУ

Теорема доказана.

Вопрос 27

-Теорема:

Пусть ФСР ЛОДУ с непрерывными коэффициентами , .

Тогда общее решение ДУ имеет вид
, где произвольные константы.

-Доказательство:

Пусть -решение задачи Коши для …

(т.к. ФСР) СЛАУ имеет единственное решение удовлетворяет тем же начальным условиям, что и согласно теореме Коши .

Теорема доказана.

Вопрос 28

(Вывести формулу Остроградского-Лиувилля для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка)

Формула Лиуви́лля-Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Доказательство для уравнения второго порядка:

Пусть y1 = y1(x) и y2 = y2(x) – решения линейного однродного дифференциального уравнения второго порядка:

y” + p(x)y’ + q(x)y = 0

где p(x) и q(x) – функции, непрерывные на некотором промежутке. Для определителя Вронского указанных решений имеем

+

Первое слагаемое равно 0, так как этот определитель содержит 2 одинаковые строки. Подставив

во второе слагаемое получим

Домножим верхнюю строчку на q(x) и сложим со 2-й

, т.е. W’(x)+p(x)W(x)=0

Мы видим, что определитель Вронского W(x) удовлетворяет уравнению: y’ + p(x)y=0(5)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что этому же уравнению удовлетворяет и функция:

y(x)=W(x₀)e ^{–S p(t)dt}

причём y(x0) = W(x0), где x0 – произвольная фиксированная точка промежутка I. Из теоремы существования и единственности для уравнения (5) получаем, что для всех x ∈ I выполняется равенство: W(x)=W(x₀)e ^{–S p(t)dt}

Это равенство называется формулой Остроградского-Лиувилля.

Вопрос 29

(Вывести формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка при одном известном частном решении)

Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно первой степени (линейно) относительно искомой функции у и ее производных . где – либо функции от х, либо постоянные. При f(x) = 0 уравнение называется линейным однородным. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

имеет вид

где две произвольные постоянные; два частных решения уравнения, линейно независимых. Заметим, что два решения: – называются линейно независимыми, если их отношение не является постоянным, т. е.

Доказательство:

Из равенства Остроградского-Лиувилля:

то разделив это неравенство на y₁² , получим

Уравнение с разделяющимися переменными, интеграл которого является общим решениям:

Вопрос 30

(Сформулировать и доказать теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка)

Теорема: Пусть - частное д.у. Ln[y]=F(x), и - общее решение однородного д.у. Ln[y]=F(x). Тогда общее решение уравнения имеет вид .Любое решение неоднородного д.у. можно представить в виде где – частное решение ур-я, а y₁(x), … ,y_n(x) – ФСР соответствующего однородного уравнения; C₁, … ,C_n – произвольные постоянные

Доказательство:

при всех значениях постоянных C₁, … ,C_n является решением д.у. (согласно теоремам о свойствах решений)Пусть z(x)- произвольное решение д.у. .Так как z(x) и – решения неоднородного д.у. , то их разность –есть решение однородного д.у. (согласно теореме о свойствах решений)Тогда согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного д.у. = , где C₁, … ,C_n – произвольные постоянные