Пусть элементы матрицы при следующие: , , , . Cобственные числа матрицы (5.3.1.2) равны , и располагаются по разные стороны от точки на прямой, проходящей через неё. В этом случае точка принадлежит выпуклой оболочке спектра и дробно-линейным преобразованием (5.3.3.1) нельзя добиться сходимости итерационного процесса. Собственные же числа матрицы Якоби (5.3.2.3) равны , (здесь - мнимая единица) и точка находится вне выпуклой оболочки спектра. То же самое можно утверждать и о спектре оператора Зейделя. Однако, непосредственное применение метода Якоби или Зейделя не приведёт к сходящемуся ряду, т.к. и не выполняется (5.3.1.5). Заключая спектр в круг с центром в т. приходим к сходящемуся методу Якоби – ОСП с параметром . Для метода Зейделя - ОСП оптимальный параметр приводит к быстро сходящемуся процессу. Решение СЛАУ (5.1) с правой частью и точностью достигается за итераций ряда (5.3.1.6).

Наоборот, если матрица Якоби (оператор Зейделя) имеют спектр, выпуклая оболочка которого содержит т. , то никакие модификации этих методов не приведут к сходящемуся процессу. Применение метода ОСП непосредственно к исходной матрице в виде (1.2) может привести в этом случае к сходимости. Такова матрица с элементами , , , , для которой собственные числа матрицы (1.2) , , а собственные числа матрицы (2.3) - , . Применение методов Якоби и Зейделя и их модификаций дают расходящийся процесс, т.к. точка принадлежит выпуклой оболочке спектра. Применение же метода ОСП к простой итерации с матрицей (5.3.1.2) дает быстро сходящийся ряд. Решение СЛАУ (5.1) с точностью достигается за итераций ряда (5.3.1.6).

Применение метода ОСП наиболее успешно в том случае, когда спектр оператора в (1.1) локализован в небольшой окрестности с центром в т. вдали от точки . Тогда применение этого метода с оптимальным параметром является самым удачным среди одношаговых стационарных методов и приводит к быстро сходящемуся ряду простой итерации. В качестве примера рассмотрим СЛАУ с матрицей , , , . В этом примере для матриц (1.2) и (2.3) имеем следующие собственные числа , и , . Значение оптимального параметра переводит в данном случае точку , в которой находится весь спектр матрицы , в точку , в которой находится спектр матрицы . Таким образом, скорость сходимости ряда (5.3.1.6) с матрицей (5.3.3.1), (5.3.1.2) в данном случае очень высокая, т.к. . Решение СЛАУ (1) с точностью до машинной константы достигается за итерации. Решение той же задачи методами Якоби и Зейделя требует гораздо большего количества итераций - и соответственно. Для метода Якоби применение ОСП не даст улучшения сходимости, т.к. центр спектра и так находится в точке и оптимальный параметр . Для метода же Зейделя спектр оператора (5.3.2.5) отличается от спектра матрицы (5.3.2.3) и использование метода Зейделя-ОСП с оптимальным параметром , т.е. ряда (1.6) с оператором (5.3.3.1), (5.3.2.5), приводит к уменьшению требуемого количества итераций - .

Пусть рассмотренная матрица продолжена на большую трехдиагональную матрицу с и такими же элементами, т.е. на главной диагонали чередуются значения и , а на двух соседних соответственно и . Спектр исходной матрицы существенно трансформируется из точки в протяженную область на комплексной плоскости, но при этом значение оптимального параметра, полученного по формуле (5.3.3.2) с участием минимального и максимального по модулю собственного числа матрицы (5.3.1.2), остается неизменным . Это справедливо для любой трехдиагональной матрицы, полученной таким периодическим продолжением из малой матрицы. Однако это значение все же приближенное в силу того, что матрица не является положительно определенной и другие комплексные собственные числа выходят за пределы круга, натянутого на как на диаметр. Опытным путем для сравнительно малых матриц с значение оптимального параметра можно уточнить до и это значение остается практически неизменным для всех больших матриц такого вида. Для параметров и и точности решения получаем соответственно число требуемых итераций и . Впечатляющий результат для данной задачи приносит метод Зейделя-ОСП. Если для обычного метода Зейделя число итераций , то с применением ОСП при число требуемых итераций снижается до !

Конечно, задача определения спектра матрицы в общем случае ничем не проще задачи решения СЛАУ прямыми методами. Однако, для ряда матриц приближенное значение оптимального параметра для метода ОСП в применении к простой итерации (5.3.1.2), (5.3.1.3) находится весьма просто через её коэффициенты. Например, для большой трехдиагональной матрицы с двумя постоянными диагоналями возле главной и с чередующимися значениями и коэффициентов на главной диагонали. Для такой матрицы в (5.1) значение оптимального параметра в (5.3.1.6) с (5.3.3.1), (5.3.1.2) равно и, если - положительно определенная матрица, то это значение точное. Это не значит, что для любой матрицы такого типа можно построить сходящийся итерационный процесс, но если можно добиться сходимости, то при таком метод сходится.

Кроме того, для физических и технических задач область локализации спектра оператора часто известна, т.к. она соответствует физически нерегулярным и резонансным решениям.

Преобразование оператора (5.3.3.1) можно использовать в условиях неполной информации об его спектре. Так, например, если известна в точности только одна граница вещественного спектра. Более определенно, пусть известно, что собственные числа находятся на интервале и значение известно точно, а для известно лишь, что . Т.к. для данного случая , то ряд простой итерации расходится, но в силу того, что можно построить сходящийся ряд. Действительно, принимая , получаем сходящийся ряд простой итерации для оператора , спектр которого лежит на интервале , причем , т.е. . Можно показать также, что в условиях неопределенности данной задачи лучший результат даст

Если даже приходится детально исследовать спектр задачи для построения быстро сходящегося итерационного процесса то, однажды его построив, можно затем многократно использовать для расчетов с различными источниками - правыми частями .

Преимущества же быстро сходящихся итерационных процессов перед прямыми методами известны. Это:

• количество арифметических операций (здесь - число итераций), вместо ;

• отсутствие накопления ошибок в процессе итераций со сжимающим оператором;

• пониженные требования к оперативной памяти ЭВМ.

Особенно эти преимущества заметны для задач с большими матрицами . Решение СЛАУ с стандартным методом Mathcad на ЭВМ P-2 750Мгц занимает около 3 мин машинного времени, в то время как решение той же системы быстро сходящимся итерационным методом с требует всего около 1..2 сек.

5.4. Нахождение собственных векторов и собственных значений матриц

Собственными векторами и собственными значениями матрицы называются вектора и числа, удовлетворяющие соотношению: , причем собственный вектор определен с точностью до постоянного множителя.

В дальнейшем рассматриваются невырожденные матрицы, имеющие различные собственные значения Для нахождения собственных значений необходимо решить уравнение: . Нахождение коэффициентов характеристического полинома:

непосредственным раскрытием определителя достаточно громоздко. В методе Крылова используется то, что подстановка в характеристический полином вместо переменной матрицы дает в результате нулевую матрицу: . Это тождество помножается слева на произвольный вектор :

, где , то есть получается СЛАУ относительно коэффициентов характеристического полинома . Для определения собственных векторов вводится система полиномов

,

, если .

Учитывается, что собственные вектора линейно независимые, то есть любой вектор можно представить в виде их линейной комбинации:

.

Собственный вектор является линейной комбинацией векторов и коэффициентов полинома . Действительно:

Коэффициенты при собственных векторах представляют собой , которые все равны нулю кроме коэффициента с , стоящего перед . То есть данная линейная комбинация является собственным вектором.

5.5. Примеры и задания к теме

5.5.1. Прямые методы решения СЛАУ

Пример, метод Гаусса:

Последовательно выбираются ведущие элементы. Преобразованная с помощью правила прямоугольника матрица записывается в следующую расширенную матрицу, подчеркнуты ведущие элементы:

После чего с помощью обратного хода находятся компоненты вектора: , , .

Метод ортогонализации:

СЛАУ записывается в векторном представлении и выбирается первый вектор ортогональной матрицы

Вектор записывается в виде линейной комбинации двух ортогональных векторов, умножается скалярно на и определяется коэффициент :

Далее вычисляется :