Таблица 4.2

Построить график зависимости величины интегралов от n, на который нанести результаты расчетов и точное значение интеграла. Оценить качественно скорость сходимости различных методов.

Таблица 4.3

1. Численные методы линейной алгебры

Рассматриваются численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), а также нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.

5.1. Численное решение СЛАУ

СЛАУ используются во многих областях науки и техники и являются наиболее часто встречающимся типом задач вычислительной математики. В общем виде СЛАУ из уравнений с неизвестными записывается в виде:

(5.1)

Здесь - неизвестный вектор решения, - заданный вектор в  -мерном пространстве, а

-

линейный оператор в этом пространстве, заданная матрица размером или в другом виде ,

Доказывается, что если определитель матрицы не равен нулю, то СЛАУ имеет единственное решение. Ниже будем полагать, что это условие выполняется. Однако, отличие определителя от нуля не могут служить гарантией того, что решение СЛАУ будет найдено численно с заданной точностью. Причиной этого может быть как плохая обусловленность самой системы, так и выбранного алгоритма. Заметим, что близость определителя к нулю и даже весьма малое его значение не свидетельствуют, вообще говоря, о плохой обусловленности системы. В качестве примера можно привести матрицу системы, у которой присутствует только главная диагональ с весьма малыми, но отличными от нуля коэффициентами. Определитель такой матрицы может быть машинный нуль, в тоже время свойства такой матрицы близки к единичной, а ошибка в решении порядка ошибки в задании исходных данных.

Для, так называемых, плохо обусловленных задач их решение принципиально нельзя получить совершенно точно. Для них малые изменения в исходных данных (коэффициентах матрицы и в векторе правой части), которые могут находиться в пределах точности их задания, приводят к несоразмерно большим изменениям в решении. В результате, в пределах точности задания исходных данных (например, в пределах ошибки округления из-за ограниченного формата числовых данных ЭВМ) может существовать множество различных решений, удовлетворяющих системе.

В качестве примера плохо обусловленной системы можно привести СЛАУ с почти линейно зависимыми строками (столбцами) в матрице. Плохо обусловленным алгоритмом для решения СЛАУ можно назвать метод Гаусса без выбора главного элемента.

Для характеристики обусловленности задачи вводят, так называемое, число обусловленности . Для задачи решения СЛАУ в качестве числа обусловленности можно принять

.

Здесь - какая-либо норма в пространстве -мерных векторов, которая выражается через норму вектора следующим образом:

Норма матрицы характеризует максимально возможное относительное увеличение по норме ненулевого вектора при воздействии на него матрицы.

Пусть решение СЛАУ получено с относительной ошибкой . Тогда для нее справедлива оценка:

Здесь - машинная константа – наименьшее число, которое при прибавлении к единице ещё изменяет её значение в машинном представлении. Отметим, что оценка справедлива для малых ошибок в заданной матрице

Введём понятие невязки решения:

(5.2)

Заметим, что малость невязки не гарантирует малость ошибки в решении. Так, для невязки выполняется соотношение ,

в то время как для справедливо:

Норма обратной матрицы для плохо обусловленной СЛАУ велика, также как и число обусловленности , характеризующее в этом случае близость матрицы к вырожденной (сингулярной), для которой .

Существуют два основных класса методов для решения СЛАУ – прямые и итерационные. Прямые методы характеризуются тем, что при абсолютной точности вычислений (на гипотетической бесконечноразрядной ЭВМ) точное решение СЛАУ может быть получено с помощью конечного числа арифметических операций. Итерационные методы характеризуются тем, что даже при абсолютной точности вычислений за конечное число арифметических операций может быть получено лишь приближенное решение системы, хотя возможно и как угодно близкое к точному. Однако при реальных вычислениях на ЭВМ указанное различие теряет свой смысл, и для многих задач итерационные методы оказываются более предпочтительными, чем прямые в силу отсутствия накопления ошибок для сходящегося процесса и возможности приблизиться к решению с заданной точностью.

Рассмотрим сначала прямые методы. Наиболее известным является метод Гаусса, поскольку другие методы являются, как правило, его модификацией.

5.2. Прямые методы решения СЛАУ

Количество операций для решения системы . Матрица либо неявно обращается, либо представляется в виде произведения матриц удобных для обращения.

В первом случае матрица последовательно преобразуется с помощью элементарных (эквивалентных) преобразований:

1. Перестановка столбцов и строк.

2. Умножение столбцов и строк на число.

3. Прибавление к строке (столбцу) другой строки, умноженной на число.

Каждое элементарное преобразование можно представить в виде матрицы , в результате последовательного умножения на , она преобразуется в единичную матрицу:

5.2.1. Метод Гаусса (Метод исключений)

Формально, метод Гаусса основан на последовательном применении матриц

; ; (5.2.1.1)

Пример для матрицы (3 3):

Действие матрицы преобразуют элементы -го столбца матрицы ниже диагонали в нулевые (т.е. исключают их).

5.2.2. Вычислительная схема метода Гаусса

В каждом уравнении выделяется ведущий элемент, на который производится деление; пусть это будет . Делим первое уравнение на :

Все остальные элементы преобразуются по схеме:

(5.2.2.1)

На втором шаге ведущим элементом выбирается , на него делится вторая строка, а все остальные элементы преобразуются по формуле:

(5.2.2.2)

Элементы во втором столбце с 2 становятся равны 0. В результате таких преобразований, мы приходим к верхней треугольной матрице с единичной диагональю:

Преобразование к верхней треугольной матрице называется прямым ходом.

Далее следует обратный ход: начиная с , последовательно вычисляются компоненты вектора:

; ;

, . (5.2.2.3)

В машинных расчетах в качестве ведущего элемента обычно выбирается максимальный элемент - го столбца с или строки с .

Эта строка (или столбец) переставляются на место -ой строки (столбца). Такой выбор уменьшает ошибки округления. При ручных расчетах элементы матрицы записываются вместе с элементами вектора в расширенную матрицу:

далее из соображений удобства выбирают ведущий элемент, а преобразование остальных элементов на одном шаге прямого хода метода Гаусса проводят по правилу прямоугольника. В матрице выделяется прямоугольник, на главной диагонали которого расположены ведущий и преобразуемый элементы.

Пусть - ведущий элемент, тогда

. (5.2.2.4)