3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ

РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

С.П. КУЛИКОВ, А.Б. САМОХИН, В.В. ЧЕРДЫНЦЕВ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ,

Ч. 1

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

МОСКВА 2005

ББК 22.193

К90

УДК 519.6

1602120000

Рецензенты:

Шананин Н.А., к.ф.-м.н., доцент РУДН

Зильберглейт Л.В., к.ф.-м.н., доцент МИКХиС

К90 Куликов С.П., Самохин А.Б., Чердынцев В.В. Численные методы, ч. 1: Учебное пособие / Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) – М., 2005. – с.

ISBN 5-7339-0211-6

Рассмотрены численные методы решения прикладных математических задач. Учебное пособие написано для студентов, обучающихся по математическим специальностям факультета кибернетики. Оно может быть полезным также при изучении дисциплин “Математическое моделирование” и “Методы оптимизации”.

Табл.3, Ил.60, Библиогр.: 4 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета).

Без объявл. ББК 32.849+32.973-04

ISBN 5-7339-0211-6

© С.П. Куликов,

А.Б. Самохин,

В.В. Чердынцев.

2005

Введение

Пятидесятилетняя эволюция ЭВМ от первых ламповых до современных серийных с быстродействием порядка операций в секунду привела к развитию математического моделирования и численного анализа практически во всех отраслях человеческого знания. Развитие технических возможностей , математического и программного обеспечения ЭВМ показали несовершенство некоторых классических методов решения инженерных и научно-технических задач, что обусловило развитие новых методов их численного решения. Проблема выбора оптимального численного метода решения как с точки зрения экономии ресурсов ЭВМ, так и снижения результирующей погрешности требует определенного опыта и вычислительной практики.

Настоящее пособие является введением в численные методы. В конце каждой темы приведены задания для практических занятий, выполнение которых позволяет глубже понять и усвоить вычислительные алгоритмы. При их решении допустимо использование инженерных калькуляторов и применение математических пакетов прикладных программ.

1. Абсолютная и относительная погрешности.

Численные методы служат для нахождения приближенного решения математических задач. Любое приближенное решение связано с ошибкой (погрешностью). Виды ошибок:

1. Погрешность математической модели, связанная с неполными знаниями о процессе.

2. Погрешность упрощения модели.

3. Погрешность, связанная с приближенным характером начальных данных.

4. Погрешность округления при расчетах.

Первые две погрешности относятся к систематическим, а две последние - к статистическим ошибкам. Для их оценки вводится абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютная (предельная) погрешность – определяет интервал, в котором лежит точное значение величины.
Пусть А - точное значение величины (неизвестно), а а- приближенное значение величины (известно). За абсолютную погрешность принимается минимальное число , удовлетворяющее условию:

(1.1)

При статистических измерениях погрешность задается с определенной достоверностью, т.е. вероятность события больше определенной величины . Перепишем определение: , то есть точное значение лежит в заданном интервале. Для оценки качества измерений вводится относительная погрешность:

. (1.2)

Заданные величины или позволяют записать точное значение А в символическом виде: или .

1.1. Число верных знаков приближенного числа

Приближенное число можно представить в виде:

, (1.1.1)

где m- величина старшего разряда, n- текущий номер знака, отсчитываемый слева направо. Говорят, что первых знаков приближенного числа верные, если абсолютная погрешность удовлетворяют условию: , то есть меньше половины соответствующего разряда. Подбирается минимальное число вида большее, чем и сравниваются разряды.

1.2. Погрешность функций

Пусть дана функция от n приближенных значений , погрешности которых известны. Требуется определить погрешность функции .
, где - абсолютная погрешность приближенной величины . Если , то разность, стоящую в формуле можно оценить в линейном приближении:

Отсюда следует оценка погрешности:

, (1.2.1)

1.3. Погрешность простейших функций двух переменных

Погрешность суммы:

Погрешность разности:

При качество измерений разности ухудшается.

Замечание: Абсолютная погрешность суммы и разности n приближенных величин равна сумме их абсолютных погрешностей.

Погрешность произведения:

То есть предпочтительней сначала найти относительную погрешность, а затем искать абсолютную:
Замечания:

• Относительная погрешность степени есть произведение модуля показателя на относительную погрешность основания степени: .

• Относительная погрешность произведения n сомножителей приближенных величин равна сумме относительных погрешностей сомножителей:
  .
  Погрешность частного:

Все замечания сделанные для произведения справедливы и в этом случае.

1.4. Примеры и задания

Пример: дано приближенное число 3457,0 погрешность - 0,6. Найти число верных знаков. Цифра 3 входит в число с весом 10³, (1.3) то есть m=3. , минимальное k=1, , то есть верны три знака
Пример: Дан куб, сторона которого , измерена с точностью . Определить погрешности измерения поверхности и объема куба:

Пример. Расчет погрешности функции трех переменных (1.2.1):

, , .

.

Пример. Катеты прямоугольного треугольника см. и см. измерены с погрешностью см. Определить погрешность измерения гипотенузы с.

см., , , см.

В каждом варианте задания три задачи, ниже приведены последовательно первая, вторая и третья задачи вариантов.

А. Найти абсолютную и относительную ошибки выражения , где , и - приближенные величины данные с погрешностями - соответственно:

_{1) , . 2) , .}

3) _{, .}

_{4) , .}

_{5) , . 6) ,}

_{7) , . 8) , . 9) , .}

_{10) , . 11) , . 12) , .}

_{13) , . 14) , .}

_{15) , . 16. , .}

_{Б. Дано приближенное число и его погрешность. Найти количество верных знаков:}

1. 23,587; 0,08 . 2) 13,58; 0,07. 3) 103,58; 0,03. 4) 1655; 6.

5) 323,07; 0,06. 6) 43,837; 0,008. 7) 16,402; 0,009. 8) 13,540; 0,006.

9) 31,541; 0,003. 10) 13,42; 0,03. 11) 137,5; 0,08. 12) 134; 20.

13) 3457,0; 0,6. 14) 4657; 8. 15) 16,47; 0,07. 16) 130,6; 0,06.

В. Дана геометрическая фигура. Определить в трехмерном случае объем и полную поверхность, а в плоском случае площадь и периметр. Погрешность определения размеров линейных элементов равна 1см:

1. Равнобедренная трапеция со сторонами основания, равными 20 и 30см. и высотой равной 12см.

2. Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания равной 10см. и высотой равной 12см.

3. Конус с высотой равной 30см. и радиусом равным 40см.

4. Прямоугольный параллелепипед с высотой 30см стороной основания 60см и диагональю основания 100см.

5. Цилиндр с главной диагональю равной 100см. и радиусом равным 40см.

6. Равнобедренная трапеция со сторонами основания, равными 20 и 80см. и высотой равной 40см.

7. Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания равной 60см. и высотой равной 40см.

8. Прямоугольный параллелепипед с высотой 25см, стороной основания 60 и диагональю основания 100см.

9. Равнобедренная трапеция со сторонами основания, равными 34 и 58см. и высотой равной 5см.

10. Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания равной 120см. и высотой равной 80см.

11. Конус с высотой равной 12см. и радиусом основания, равным 5см.

12. Прямоугольный параллелепипед с высотой 20см стороной основания 50 и диагональю основания 130см.

13. Цилиндр с образующей равной 60см. и главной диагональю равной 100см.

14. Равнобедренная трапеция со сторонами основания, равными 20 и 32см. и высотой равной 8см.

15. Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания равной 24см. и высотой равной 5см.

16. Прямоугольный параллелепипед со стороной основания 12см, его диагональю 13см и высотой 40см.

2. Приближение функций

Во многих случаях функция задается таблично, то есть, известны её значения только в узловых точках (узлах):

Таблица 2.1

Необходимо построить функцию, приблизительно описывающую зависимость между узлами. Приближающая функция обычно берется в виде суммы элементарных функций. На практике используются степенные, показательные, тригонометрические функции. В дальнейшем будем рассматривать полиномиальное приближение, т.е. приближающая функция имеет вид:

. (2.1)