Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Существуют два основных критерия (условия) построения приближающих функций. Критерий интерполяции требует, чтобы приближающая функция проходила через узлы. Критерий аппроксимации требует минимизации некоторого функционала.

2.1. Интерполяционные полиномы

Полином степени n однозначно определяется своими значениями в n+1 точке с попарно разными абсциссами: , если . Действительно, выпишем согласно критерию интерполяции систему уравнений или в развернутом виде:
.

Система (n+1)-ого уравнения относительно , имеет единственное решение, если так как в этом случае определитель не равен 0. Существуют методы, позволяющие избежать непосредственного решения системы уравнений для нахождения .

2.2. Интерполяционный полином Лагранжа

Рассмотрим в начале n=1 (2.1):

.

Подставляя коэффициенты в , получим:

то есть полином представлен в виде суммы двух линейных функций, независящих от ординат, умноженных на ординаты и обладающих свойством:

.

В этом состоит идея построения интерполяционного полинома Лагранжа. Для произвольного значения n запишем интерполяционный полином в виде:

,

где полиномы степени не выше n, не зависящие от ординат, и обладающие следующими свойством: .
Из равенства, следует, что имеет n корней (рассматриваются однократные корни).

где - коэффициент, который находится из условия .
В результате интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

(2.2.1)

Достоинства интерполяционного полинома Лагранжа является простота конструкции. При заданном наборе абсцисс узловых точек и выбранной расчетной точке упрощается вычисления для различных ординат . Недостаток – добавление (n+1)-ого узла требует перерасчета всех слагаемых.

Погрешность вычисления: пусть – функция n+1 – раз дифференцируемая и – приближающий её интерполяционный полином.

,

где

Интерполяционный полином Лагранжа при линейных преобразованиях x = at + b (t- новая переменная) – сохраняет свой вид.

2.3. Интерполяционный полином Ньютона

Пусть n=0, тогда , если n=1, то выражение для полинома можно записать в виде: , т. е. поведение приближающей функции с добавлением узлов, уточняется вблизи точки х₀. Конструкция интерполяционного полинома Ньютона такова:

Рассматривается равномерная сетка, т.е. .

Для дальнейшего анализа вводится понятие конечной разности. Конечной разностью первого порядка называется величина

.

Конечная разность второго порядка определяется по первой

и т.д. конечная разность i – ого порядка определяется через рекуррентное соотношение:

и зависят от значений y в (i + 1) – ой точке.

Выражение вида: называется обобщенным произведением. Его первая конечная разность равна:

. (2.3.1)

Отсюда следует выражение для конечных разностей высших порядков.

Подставляя в , получим: . Далее, определим конечную разность в точке . Из свойства (2.3.1) получим:

Отсюда следует, что . Точно также из (2.3.1) следует выражение для конечной разности второго порядка в точке :

.

Общая формула имеет вид: .

В результате получаем первый интерполяционный полином Ньютона:

(2.3.2)

Построенный таким образом интерполяционный полином проходит через узловые точки.

Второй интерполяционный полином Ньютона позволяет начать интерполяцию с точки , т.е. улучшить точность приближения на правой границе интервала интерполяции

Из структуры полинома следует, что .

;

; ; и так далее. Окончательно получим:

; (2.3.3)

При расчётах и алгоритмизации вычисления интерполяционного полинома применяется таблица конечных разностей:

Таблица 2.2

№						…
0						…
1					…
2				…
3			…
…	…	…

Для построения 1-ого интерполяционного полинома Ньютона необходима 1-ая строка табл. 2.2. Для построения 2-ого интерполяционного полинома Ньютона необходима побочная диагональ таблицы. Обычно при машинных расчётах массив ординат узловых точек последовательно преобразуется в массив коэффициентов , так что они запоминаются в соответствующих элементах массива.

2.3. Примеры и задания для практических занятий

Пример: Дана таблица узлов. Построить интерполяционный полином Лагранжа и провести проверку табл. 2.3.

Таблица 2.3

N	0	1	2	3
X	0	0,5	1	1,5
Y	1	2	3	1

В выражение (2.2.1) для n=3:

,

необходимо подставить данные из табл. 2.3.

.

После преобразований получим:

Проверка:

Пример. Построить интерполяционные полиномы Ньютона по предыдущей таблице узловых точек.

Первый интерполяционный полином Ньютона.

;

;

Второй интерполяционный полином Ньютона:

;

.

Варианты задаются по номерам столбцов табл.2.4 и 2.5 в виде дробей: , например, означает, что для узловых точек по х и у выбираются второй и девятый варианты соответственно. Каждый студент должен получить три таких дроби для расчета интерполяционного полинома Лагранжа, первого и второго интерполяционного полинома Ньютона. Результат необходимо представить в виде: ,

где коэффициенты правильные или не правильные дроби, не десятичные. Проверка производится подстановкой узловых точек.

Таблица 2.4

	Варианты
n	1	2	3
0	0	-0,5	-1
1	0,5	0	-0,5
2	1	0,5	0
3	1,5	1	0,5

Таблица 2.5

	Варианты
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	-1	2	1	-1	2	1	-1	2	1	1	-1	0	2	2	1
1	2	-1	2	0	1	1	2	-2	2	-1	-1	-1	0	1	-2
2	1	1	-1	-1	-1	-1	-2	-1	-1	2	2	2	-1	0	-1
3	1	0	1	2	2	2	1	1	-1	1	-2	1	2	-2	-1

3. Численные методы решений трансцендентных и алгебраических уравнений

Общий вид уравнения . Решить уравнение, т.е. найти его корень, означает определить такое, что .

Во многих случаях точное значение найти невозможно, поэтому используются приближенные методы, когда значение корня определяется с заданной точностью . Геометрически корень – это пересечение графиком функции оси .

Характеристики

Список файлов книги