POS-KSC (Учебное пособие по численным методам), страница 2
Описание файла
Файл "POS-KSC " внутри архива находится в папке "Учебное пособие по численным методам". Документ из архива "Учебное пособие по численным методам", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вычислительная математика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "POS-KSC "
Текст 2 страницы из документа "POS-KSC "
Существуют два основных критерия (условия) построения приближающих функций. Критерий интерполяции требует, чтобы приближающая функция проходила через узлы. Критерий аппроксимации требует минимизации некоторого функционала.
2.1. Интерполяционные полиномы
Полином степени n однозначно определяется своими значениями в n+1 точке с попарно разными абсциссами: 
, если 
. Действительно, выпишем согласно критерию интерполяции систему уравнений 
или в развернутом виде:
.
Система (n+1)-ого уравнения относительно 
,
имеет единственное решение, если 
так как в этом случае определитель не равен 0. Существуют методы, позволяющие избежать непосредственного решения системы уравнений для нахождения .
2.2. Интерполяционный полином Лагранжа
Рассмотрим в начале n=1 (2.1):
.
Подставляя коэффициенты в 
, получим:
то есть полином представлен в виде суммы двух линейных функций, независящих от ординат, умноженных на ординаты и обладающих свойством:
.
В этом состоит идея построения интерполяционного полинома Лагранжа. Для произвольного значения n запишем интерполяционный полином в виде:
,
где 
полиномы степени не выше n, не зависящие от ординат, и обладающие следующими свойством: 
.
Из равенства, 
следует, что 
имеет n корней (рассматриваются однократные корни).
где 
- коэффициент, который находится из условия
.
В результате интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:
(2.2.1)
Достоинства интерполяционного полинома Лагранжа является простота конструкции. При заданном наборе абсцисс узловых точек и выбранной расчетной точке 
упрощается вычисления для различных ординат 
. Недостаток – добавление (n+1)-ого узла 
требует перерасчета всех слагаемых.
Погрешность вычисления: пусть 
– функция n+1 – раз дифференцируемая и 
– приближающий её интерполяционный полином.
,
где 
Интерполяционный полином Лагранжа при линейных преобразованиях x = at + b (t- новая переменная) – сохраняет свой вид.
2.3. Интерполяционный полином Ньютона
Пусть n=0, тогда 
, если n=1, то выражение для полинома можно записать в виде: 
, т. е. поведение приближающей функции с добавлением узлов, уточняется вблизи точки х0. Конструкция интерполяционного полинома Ньютона такова:
Рассматривается равномерная сетка, т.е. 
.
Для дальнейшего анализа вводится понятие конечной разности. Конечной разностью первого порядка называется величина
.
Конечная разность второго порядка определяется по первой
и т.д. конечная разность i – ого порядка определяется через рекуррентное соотношение:
и зависят от значений y в (i + 1) – ой точке.
Выражение вида:
называется обобщенным произведением. Его первая конечная разность равна:
. (2.3.1)
Отсюда следует выражение для конечных разностей высших порядков.
Подставляя 
в , получим: 
. Далее, определим конечную разность в точке 
. Из свойства (2.3.1) получим:
Отсюда следует, что 
. Точно также из (2.3.1) следует выражение для конечной разности второго порядка в точке :
.
Общая формула имеет вид: 
.
В результате получаем первый интерполяционный полином Ньютона:
(2.3.2)
Построенный таким образом интерполяционный полином проходит через узловые точки.
Второй интерполяционный полином Ньютона позволяет начать интерполяцию с точки 
, т.е. улучшить точность приближения на правой границе интервала интерполяции
Из структуры полинома следует, что 
.
;
; 
; и так далее. Окончательно получим:
; (2.3.3)
При расчётах и алгоритмизации вычисления интерполяционного полинома применяется таблица конечных разностей:
Таблица 2.2
| № | | | | | | … |
| 0 | | | | | | … |
| 1 | | | | | … | |
| 2 | | | | … | ||
| 3 | | | … | |||
| … | … | … |
Для построения 1-ого интерполяционного полинома Ньютона необходима 1-ая строка табл. 2.2. Для построения 2-ого интерполяционного полинома Ньютона необходима побочная диагональ таблицы. Обычно при машинных расчётах массив ординат узловых точек последовательно преобразуется в массив коэффициентов 
, так что они запоминаются в соответствующих элементах массива.
2.3. Примеры и задания для практических занятий
Пример: Дана таблица узлов. Построить интерполяционный полином Лагранжа и провести проверку табл. 2.3.
Таблица 2.3
| N | 0 | 1 | 2 | 3 |
| X | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 1 |
В выражение (2.2.1) для n=3:
,
необходимо подставить данные из табл. 2.3.
.
После преобразований получим: 
Проверка:
Пример. Построить интерполяционные полиномы Ньютона по предыдущей таблице узловых точек.
| № | x | y | | | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | -3 |
| 1 | 0.5 | 2 | 1 | -3 | |
| 2 | 1 | 3 | -2 | ||
| 3 | 1.5 | 1 |
;
;
Второй интерполяционный полином Ньютона:
;
.
Варианты задаются по номерам столбцов табл.2.4 и 2.5 в виде дробей: 
, например, 
означает, что для узловых точек по х и у выбираются второй и девятый варианты соответственно. Каждый студент должен получить три таких дроби для расчета интерполяционного полинома Лагранжа, первого и второго интерполяционного полинома Ньютона. Результат необходимо представить в виде: 
,
где коэффициенты правильные или не правильные дроби, не десятичные. Проверка производится подстановкой узловых точек.
Таблица 2.4
| Варианты | |||
| n | 1 | 2 | 3 |
| 0 | 0 | -0,5 | -1 |
| 1 | 0,5 | 0 | -0,5 |
| 2 | 1 | 0,5 | 0 |
| 3 | 1,5 | 1 | 0,5 |
Таблица 2.5
| Варианты | |||||||||||||||
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0 | -1 | 2 | 1 | -1 | 2 | 1 | -1 | 2 | 1 | 1 | -1 | 0 | 2 | 2 | 1 |
| 1 | 2 | -1 | 2 | 0 | 1 | 1 | 2 | -2 | 2 | -1 | -1 | -1 | 0 | 1 | -2 |
| 2 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -2 | -1 | -1 | 2 | 2 | 2 | -1 | 0 | -1 |
| 3 | 1 | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | -1 | 1 | -2 | 1 | 2 | -2 | -1 |
3. Численные методы решений трансцендентных и алгебраических уравнений
Общий вид уравнения 
. Решить уравнение, т.е. найти его корень, означает определить 
такое, что 
.
Во многих случаях точное значение найти невозможно, поэтому используются приближенные методы, когда значение корня определяется с заданной точностью 
. Геометрически корень – это пересечение графиком функции оси 
.
