POS-KSC (Учебное пособие по численным методам), страница 10

Последовательно решая СЛАУ (7.3.5), начиная со слоя , можно вычислить сеточную функцию во всей области решения. Система (7.3.5) может быть решена как стандартным методом ( т.к. порядок системы не слишком велик - ), так и специальными методами применяемыми для решения систем с трехдиагональными матрицами, например, методом прогонки [2].

рис.2

На рис.2 представлен расчет установления температуры в стержне, проведенный по неявной схеме (7.3.5), при следующих начальных и граничных условиях: , ; , , ; , . Шаги сетки по времени и по пространственной координате , . При данном значении расчеты по явной схеме (7.3.4) были бы невозможны из-за большой неустойчивости. Число шагов по и по соответственно M=10, N=100.

1. Уравнения эллиптического типа

Двумерные краевые задачи для уравнений данного типа рассмотрим на примере уравнений Лапласа, Пуассона и Гельмгольца. Обозначим, как обычно, оператор Лапласа

Тогда указанные уравнения имеют вид: 1.Уравнение Лапласа 2.Уравнение Пуассона 3.Уравнение Гельмгольца

Граничные условия задаются на границе области : ,в частности, на границе прямоугольника : , , ,

7.4.1. Разностная схема уравнений

Разностную схему рассмотрим на примере уравнения Пуассона в прямоугольнике, используя для аппроксимации второй производной конечные разности второго порядка точности (7.1.4). Вводя сетку , получаем ,

или , введя обозначение , получаем пятиточечную разностную схему для внутренних узлов прямоугольника

(7.4.1)

Данная неявная схема охватывает все внутренние точки области , их количество . Таково же число уравнений и неизвестных в СЛАУ, построенной на основе (7.4.1).

Пусть для простоты для всех , т.е. для всех внутренних точек , , а граничные условия таковы: внизу , слева и справа , и только наверху задана отличная от нуля функция . Зададим , . Тогда , а число внутренних точек и уравнений . Матрица СЛАУ для данной задачи задается по следующему закону (на языке пакета Mathcad):

Здесь , - это индексы матрицы , они связаны с другими, ранее введенными индексами для узлов сетки. Сеточная функция , , выражается через найденный в результате решения СЛАУ вектор решения , следующим образом: .

Пятидиагональная матрица имеет следующее строение:

Вектор правой части СЛАУ задается в данной задаче по закону:

,

где - число, определяющее в индексах вектора решения начало последнего слоя внутренних узлов по оси , на которых учитывается заданное граничное условие. Заданная функция из уравнения, в данной задаче являющаяся константой, , входит в правую часть СЛАУ в виде слагаемого . Значения вектора правой части в данной задаче:

На рис.3 показано распределение функции решения аналогичной краевой задачи в двумерной области при порядке СЛАУ . Решение получено комбинированным методом Зейделя-ОСП при оптимальном параметре за итераций с относительной точностью решения в . Обычный метод Зейделя сходится здесь лишь за итераций и сопоставим по времени решения с прямым методом. Еще большее число требуемых итераций показывают в данной задаче метод ОСП с матрицей (1.2) - .

Отметим, что матрица задачи при и заданном постоянна и не зависит от краевых условий и источников , которые входят в правую часть СЛАУ. Соответственно задачи с различными краевыми условиями и источниками могут решаться с тем же самым оптимальным параметром, найденным один раз для данной сетки.

рис.3

1. Лабораторные задания к теме «Численное решение уравнений в частных производных»

Лабораторные работы по теме могут быть выполнены с помощью математических пакетов программ Mathcad или Matlab. В результате работы должна быть представлена искомая сеточная функция в виде матрицы значений в узлах сетки либо в виде послойного по времени распределения значений сеточных векторов. Следует также привести графическое представление результатов.

7.5.1. Гиперболические уравнения

Варианты заданий для одномерного волнового уравнения с граничными и начальными условиями (см. 7.2).

№ п/п									Метод
1.1	1	1	0	0			2	0.1, 0.05	1
1.2	1	2	0	0			1	0.1, 0.05	1
1.3		1	0	0			2	0.1, 0.05	1
1.4	1	2	0	0			1	0.1, 0.05	1
1.5		1	0	0			2	0.1, 0.05	1
1.6	1	2	0	0			1	0.1, 0.05	1
1.7		1	0	0			2	0.1, 0.05	1
1.8	1	2	0	0			1	0.1, 0.05	1
1.9		1	0	0			2	0.1, 0.05	1
1.10	1	2	0	0			1	0.1, 0.05	1

7.5.2. Параболические уравнения

Варианты заданий для одномерного уравнения теплопроводности с граничными и начальными условиями (см. 7.3).

№ п/п									Метод
2.1	1	0.1	0	0			1	0.01	1
2.2	1	1	0	0			1	0.01	2
2.3	1	0.1	0	0			1	0.01	1
2.4	1	2	0	0			1	0.01	2
2.5		0.1	0	0			1	0.01	1
2.6		1	0	0			1	0.01	2
2.7		0.1	0	0			1	0.01	1
2.8		2	0	0			1	0.01	2
2.9	1	0.1	0	0			1	0.01	1
2.10	1	1	0	0			1	0.01	2
2.11		0.1	0	0			1	0.01	1
2.12		2	0	0			1	0.01	2

Методы: 1- явный; 2 - неявный, сведением к СЛАУ и последующим решением стандартным методом. Сравнить со строгим решением.

7.5.3. Эллиптические уравнения

Решить заданную краевую задачу методом сеток, сведением её к СЛАУ и последующим решением прямым (стандартным) и итерационным (Зейделя-ОСП) методами. Сравнить с существующим строгим решением.