.

Вычисляется вектор :

.

Вычисление компонент вектора :

Варианты заданий:

Найти решение СЛАУ методом Гаусса и методом ортогонализации:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20)

5.5.2. Итерационные методы решения СЛАУ

Найти решение СЛАУ с матрицей и правой частью итерационными методами Якоби, Зейделя и ОСП. Решение получить с заданной относительной точностью . Указать количество итераций необходимых каждому методу для достижения заданной точности. На практических занятиях с использованием калькуляторов в случаях слабой сходимости ограничиться числом , отразив это в результатах. На лабораторных работах с использованием пакета Mathcad это ограничение снимается. Отметить также случаи явной расходимости метода.

В качестве оптимального параметра для сходимости метода ОСП в задаче с матрицей (5.3.1.2) размером следует принимать:

• , в случае (и в случае периодического продолжения на трехдиагональную матрицу с большим значением )

• , для задач с трехдиагональной матрицей с постоянной главной диагональю, где . В частности, для матриц с .

В случаях расходимости всех трех используемых методов следует применить комбинированный метод Якоби-Зейделя и ОСП. Для этого потребуется найти собственные числа матрицы Якоби (5.3.2.3) и на этой основе сделать вывод о значении для ряда оптимальной простой итерации с матрицей (5.3.3.1), в которой - матрица (5.3.2.3). Этот же оптимальный параметр можно использовать для построения ряда простой итерации с оператором (5.3.3.1), где -оператор Зейделя (5.3.2.5). Однако, в последнем случае оптимальный параметр, как правило, может быть значи-

тельно улучшен и в необходимых случаях он указан.

Варианты заданий.

№ вар.				Оптимальный параметр для метода Зейделя-ОСП
1.
2.
3.				k=0.1
4.				k=0.1
5.				k=0.2
6.
7.				k=0.25 (n=2), k=0.65 (n=100)
8.				k= 1 (n=2), k= 1.85 (n=100)
9.				k=0.3 (n=2), k=0.8 (n=100)
10.				k= - 0.17
11.
12.
13
14.
15

При выполнении лабораторных работ с помощью пакета Mathcad указанные варианты видоизменяются до больших трехдиагональных матриц с и . Для этого главная и две побочные диагонали периодически продолжаются на большую матрицу. Остальные коэффициенты матрицы нулевые. Так, матрица варианта №2 выглядит следующим образом:

Оптимальный параметр для метода ОСП остаётся при этом неизменным (несмотря на трансформацию спектра матрицы- увеличение радиуса круга при неизменном положении его центра) и определяется так, как указано выше для малых матриц.

Решить задачу для различных векторов правой части:

1). 2). 3). для всех . Относительная точность вычислений для всех вариантов .

Варианты помеченные * используются только для практических работ с n=2 и для n=100 решений в виде сходящегося итерационного процесса не имеют. В этом случае выбирается вариант с номером = 16 - №вар.

В результате работы представить для каждого метода:

• вектор решения (несколько первых компонент)

• число итераций

• невязку решения (по норме)

• спектр матрицы (с помощью стандартных функций Mathcad)

Сравнить значение оптимального параметра, полученного исходя из знания спектра оператора, и найденного по вышеизложенным правилам.

Сравнить решение СЛАУ, полученное стандартным методом Mathcad и Вашим итерационным методом.

Сделать выводы о причинах хорошей (плохой) сходимости итерационного метода и о её зависимости от начального приближения (правой части ).

Найти число обусловленности исходной матрицы (с помощью стандартных функций Mathcad).

Для вариантов задания с быстрой сходимостью ( ) сравнить при время решения СЛАУ стандартным методом Mathcad и итерационным методом.

5.5.3. Нахождение собственных значений и векторов

Пример: Найти собственные вектора и значения матрицы:

Выберем , тогда:

, .

СЛАУ имеет вид:

, откуда , в результате получаем характеристический полином:

, откуда , .

Построим полиномы для нахождения собственных векторов:

, ,

Поэтому:

, , так как собственный вектор определен с точностью до произвольного множителя.

Проверка:

,

.

Задание для практических занятий.

Дана матрица Найти ее собственные значения и вектора.

Варианты:

_{1) , 2) ,}

_{3) , 4) ,}

_{5) , 6) ,}

_{7) , 8) ,}

_{9) , 10) ,}

_{11) , 12) ,}

_{13) , 14) ,}

₁₅₎ , 16) _.

6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассматриваются уравнения первого порядка, разрешимые относительно первой производной с начальными условиями :

(6.1)

Существует теорема Коши о единственности решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях . Геометрически определяет поле направлений на плоскости , а решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) - интегральные кривые.

Численные методы решения задачи Коши для ОДУ основаны на том, что решение можно представить в виде разложения в ряд Тейлора с любой степенью точности.

6.1. Метод разложения в ряд Тейлора

Решение ищется в виде

(6.1.1)

Функциональные зависимости известны:

,

, (6.1.2)

и т.д.

Этот метод приводит к громоздким выражениям для производных, и в основном используются для получения других численных методов.

6.2. Общая схема метода Рунге - Кутта

Одношаговые методы позволяют получить заданную точность используя только предыдущее значение . Изменение на шаге h представляется в виде квадратурной формулы (типа Гаусса):

,

где .

Для получения коэффициентов , и квадратурная сумма разлагается в ряд по степеням h. Полученное разложение сравнивается с рядом Тейлора:

(6.2.1)

В общем виде выражения для коэффициентов получить трудно, поэтому рассмотрим наиболее употребительные формулы.

Введем обозначения:

,

, (6.2.2)

,

………………………………………….

Квадратурную формулу разлагаем в ряд по h:

(6.2.3)

 ,  ,  ,  -- частные производные по x и y (x, y).

Полученное разложение сравнивается с рядом Тейлора (6.1.1).

Рассмотрим несколько частных случаев.

6.3 Методы Рунге-Кутта низших порядков

6.3.1 Метод Эйлера

В квадратурной формуле ограничиваемся одним слагаемым:

. (6.3.1.1)

Интегральная кривая заменяется ломаной линией, состоящей из прямолинейных отрезков. Выбирается шаг h и значение функции в точке ищется по формуле

т.е. в интегральном уравнении f(x,y) заменяется на константу.

Ошибки метода так как в ряде Тейлора отбрасываются вторые производные.

6.3.2. Метод трапеций и прямоугольника

Это популярные методы, иначе их называют метод Коши- Эйлера и модифицированный метод Эйлера, их ошибка

Представление - позволяет сравнить два первых слагаемых в разложении с рядом Тейлора: