обеспечивает заданную точность вычислений .

1. Пример и задание для практических занятий

Пример. Найти методом хорд, касательных и простой итерации корни уравнения:

, К=20, L=10. (3.6.1)

Каждый корень искать одним из предложенных методов. Для этого вначале необходимо отделить корни и выбрать метод решения. Рекомендуемый план решения приводится ниже:

1) Находятся первая и вторая производные:

, .

Очевидно, что корни (если они существуют) расположены левее, между и правее точек экстремума функции

.

Выбираются три интервала [a,b] и проверяется условие (3.1) на каждом интервале.

2) Для метода простых итераций уравнение преобразуется к итерационному виду: и выбирается интервал [a,b]= [3,5], на котором проверяется выполнение условия (3.1). В качестве начального значения выбирается , тогда по (3.1.3) получается , .

3) Для метода хорд выбирается интервал [a,b]= [-3,3] и проверяется (3.1) , неподвижной точки на этом интервале не существует, поэтому каждый раз находится новый интервал из условия (3.1), в результате, применяя (3.2.1) получим два последовательных приближенных значения корня: , .

4) Для метода касательных выбирается интервал [a,b]= [-3,-5] и проверяется выполнение условия (3.1) , выбирается начальная точка из условия (3.2.2): . По формуле (3.3.1) проводятся две итерации: , .

Варианты для практических и лабораторных занятий приведены в табл.4.1. Для лабораторных занятий следует графически локализовать корни, затем уточнить корни заданными методами с точностью , вычислить значение функции в каждом найденном корне.

Таблица 4.1

4. Численное интегрирование

Цель – приближенно вычислить определенный интеграл: на [a,b].

По теореме Ньютона – Лейбница он равен разности верхнего и нижнего пределов первообразной ( ) функции. Но для табличных функций их первообразная не существует и даже для известных не всегда представима в виде комбинаций элементарных функций. Интеграл геометрически равен площади криволинейной трапеции.

В численных методах интеграл ищется в виде квадратуры: . Необходимо найти оптимальным образом и . Обычно коэффициенты подбираются так, чтобы квадратура давала точное значение для полинома максимально возможной степени.

4.1. Метод Ньютона – Котеса

Предполагается, что значения аргументов известны и расположены равномерно. Требуется найти коэффициенты А.

Рассмотрим интервал: , .

На интервале заменим интерполяционным полиномом Лагранжа (2.1.1), подставляя в него переменную q, равную:

.

, получим ,

где штрих означает отсутствие в произведении сомножителя с j=i

коэффициенты А_i равны:

, (4.1.1)

где не зависящие от интервала [a,b] – коэффициенты Котеса.

В дальнейшем рассматривается равномерная сетка узлов с шагом h.

4.2. Метод прямоугольников.

Степень полинома n = 0 . Коэффициент Котеса (4.1.1) при n = 0 (вычисляется как предельный переход при ) равен 1.Интервал неопределен, т.к. есть только одна точка - . Геометрически это обозначает, что f(x) заменяется на интервале каким-то значением ординаты. Если интервал [a,b] велик, то его разбивают точками на n интервалов и на каждом применяют метод прямоугольников. Для первого интервала приближенное значение интеграла равно , где .

В качестве обычно применяют:

- метод левых прямоугольников;

- метод правых прямоугольников.

На [ ] повторяют ту же процедуру и результат суммируют

, . (4.2.1)

Погрешность метода на интервале длиной h равна: дифференцируя по h, получим: , . После интегрирования по h: . Абсолютная погрешность на n интервалах суммируется. В результате, учитывая, что получим: , где .

4.3. Метод трапеций

На частичном интервале функция заменяется линейной, т.е. n=1. , . На интервале , заменяя f(x) на P₁(x), получим для равноотстоящих узлов: . То есть, площадь криволинейной трапеции заменена площадью прямоугольной трапеции.

Суммируя по всем интервалам, приходим к выражению: , в котором внутренние ординаты встречается дважды. Окончательно получим:

. (4.3.1)

Между методом трапеций и методом прямоугольников существует простая связь:

(4.3.2)

Для оценки погрешности продифференцируем соотношение для R дважды по :

,

, .

Интегрируя дважды с заменой на среднее значение, приходим к выражению:

.

Погрешность на интервале интегрирования есть сумма погрешности на каждом частичном интервале, в результате получим: .

4.4. Метод парабол. (Метод Симпсона)

Степень полинома n равна двум. Рассмотрим интервал длиной 2h: . Коэффициенты Котеса (4.1.1)равны:

, , .

В результате квадратурная формула имеет вид: .

Для применения метода парабол на [a , b] ,его необходимо разбить на 2n интервала, т.е. число интервалов должно быть четно. При суммировании по частичным интервалам внутренние четные точки удваиваются, В результате окончательная формула имеет вид:

, (4.4.1)

где , .

Оценка метода парабол: продифференцировав три раза выражение и применяя теорему о среднем, также как и в методе трапеций, получим:

, где .

Погрешность R зависит не от третьей, а от четвертой производной, т.е. приближение имеет повышенную точность и формула парабол верна для полиномов третьей степени. Окончательно, погрешность имеет вид:

, .

На практике, достижение заданной точности определяется путем сравнения значений интеграла, рассчитанных для текущего и удвоенного числа разбиений интервала.

4.5. Квадратурные формулы Гаусса

Предварительно необходимо рассмотреть свойства полиномов Лежандра: - полином степени n, . Полиномы ортогональны, то есть: , где - символ Кронекера.

Имеют n корней на . Для любого полинома : , если k < n,

так как полином степени k представим в виде линейной комбинации полиномов Лежандра до степени k включительно.

Исходим из формулы общего вида:

Для произвольного отрезка замена переменных переводит его в отрезок , и квадратурная формула Гаусса имеет вид:

(4.5.1)

Потребуем, чтобы квадратурная формула была точна для полиномов максимальной степени , а, следовательно, должна быть точна для 1, t, …, t . Система уравнений: нелинейная.

Используем свойство полинома Лежандра: при k=0,1, …, n-1.

Равенство интеграла нулю возможно, если - корни полинома Лежандра, которые известны.

Полученные , подставляются в первые n уравнений системы для определения коэффициентов :

, .

Определитель системы – определитель Вандермонда  0 и система имеет единственное решение.

Оценка точности квадратурной формулы Гаусса проводится по формуле:

, где .

4.6. Задание для практических занятий

В практической работе исследуется сходимость различных методов в зависимости от - числа точек разбиения.

Рассматривается интеграл вида , где , значения K, L даны в табл. 4.3, .

Точное значение интеграла равно:

.

Сравнить его со значениями, полученными методом трапеций (4.3.1), методом парабол (4.5.1), методом Гаусса (4.7.1), коэффициенты этого метода приведены в табл. 4.1

Таблица 4.1

Результаты расчетов свести в табл. 4.2: