analyzeCourseII(4) (Матан пример решения типовика в MathWorks)

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Студента факультета ВАВТ, группы ВСС-1-02

Чередина В.

МОСКВА 2004 г.

ЗАДАЧА 1. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.

Дано: .

Решение: Имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Следовательно:

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

Ответ:

ЗАДАЧА 2. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.

Дано:

Решение: Имеем однородное дифференциальное уравнение. Положим:

тогда:

Следовательно:

получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Производя обратную замену, получаем:

Ответ:

ЗАДАЧА 3. Найти решение задачи Коши.

Дано:

Решение: Имеем линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим однородное линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Применим метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной), тогда:

Подставив эти значения в исходное уравнение, получим:

В результате получаем:

находим частное решение при значении :

Следовательно, частным решением при значении будет:

Ответ:

ЗАДАЧА 4. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка.

Дано:

Решение: Имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка не содержащее независимой переменной. Положим: тогда:

Производя обратную замену, получаем:

Ответ:

ЗАДАЧА 5. Найти общее решение дифференциального уравнения, используя характеристическое уравнение и метод вариации произвольной постоянной.

Дано:

Решение: Решаем соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

Составим и решим характеристическое уравнение:

Следовательно, частными решениями однородного уравнения будут:

а общим решением однородного уравнения будет:

находим вронскиан:

частное решение неоднородного уравнения находим по формуле:

Тогда общим решением будет:

Ответ:

ЗАДАЧА 6. Операторным методом найти решение задачи Коши.

Дано:

Решение: перейдем к изображениям:

Следовательно:

Выразим из уравнения :

Используя метод неопределенных коэффициентов, представим дробь в виде суммы простых дробей. Имеем:

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, имеем систему линейных уравнений:

Воспользуемся методом Гаусса для решения системы линейных уравнений:

;

Тогда может быть представлена в виде:

Следовательно, используя таблицу соответствий, имеем:

Ответ:

ЗАДАЧА 7. Решить задачу Коши для системы уравнений.

Дано:

Решение: составим характеристическое уравнение матрицы системы:

При уравнения для определения собственного вектора имеют вид:

и

и сводятся к уравнению . Последнее уравнение определяет вектор .

При уравнения для определения собственного вектора имеют вид:

и

и сводятся к уравнению . Последнее уравнение определяет вектор .

Получаем фундаментальную систему решений:

для :

для :

общее решение системы имеет вид:

Воспользуемся начальными условиями для нахождения произвольных постоянных:

Ответ: