analyzeCourseII(2) (Матан пример решения типовика в MathWorks)

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ»

Студента факультета ВАВТ, группы ВСС-1-02

Чередина В.

МОСКВА 2004 г.

ЗАДАЧА 1. Найти дивергенцию и ротор векторного поля , задаваемого векторным произведением .

Дано: , .

Решение: найдем градиент u, имеем:

.

Тогда векторным произведением будет:

.

1) Дивергенцию найдем как:

, где: , , ,

тогда:

2) Ротор найдем по формуле:

Ответ: , .

ЗАДАЧА 2. Вычислить криволинейный интеграл:

по замкнутому контуру L, пробегаемому против часовой стрелки, двумя способами: непосредственно и по формуле Грина.

Дано: , .

L: ;

Решение:

1) из задания контура L определим уравнения прямых, составляющих область. Имеем:

L: ,

Следовательно, вершинами треугольника, представляющего собой контур L, будут:

.

Тогда, учитывая положительное направление обхода замкнутого контура, имеем:

.

2) Вычисляя криволинейный интеграл по формуле Грина, имеем:

,

где:

, ;

Следовательно:

.

Ответ: .

ЗАДАЧА 3. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность, ограничивающую указанное тело G, в направлении внешней нормали к поверхности. Задачу решить двумя способами: непосредственно, вычислив поток через все гладкие куски поверхности, и с помощью теоремы Гаусса-Остроградского.

Дано: ,

G: .

Решение:

П роекция на плоскость xOy:

1) Вычислим поток векторного поля через все гладкие куски поверхности. По определению потока имеем:

Тогда получим для поверхностей:

2) По формуле Гаусса-Остроградского имеем:

,

тогда:

;

Следовательно:

.

Ответ: .

ЗАДАЧА 4. Найти циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру, ограничивающему указанную поверхность . Задачу решить двумя способами: вычислив непосредственно линейный интеграл векторного поля и применив формулу Стокса. Направление обхода контура выбрать произвольно.

Дано: ,

.

Решение:

1) По определению циркуляции, имеем:

;

Тогда:

AB: , , ,

;

, , , ,

;

, , , ,

;

Следовательно:

.

2) По формуле Стокса имеем:

тогда:

следовательно:

В результате:

Ответ: .