analyzeCourseI(4) (Матан пример решения типовика в MathWorks)

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

Студента факультета ООЗП УПОУ, группы ОТО-4-02

Чередина Вениамина.

МОСКВА 2003 г.

ЗАДАЧА 1. С помощью подведения под знак дифференциала найти

Дано:

Решение:

Ответ:

ЗАДАЧА 2. Интегрирование по частям найти

Дано:

Решение:

Положим:

Тогда:

Интеграл так найдем, интегрирую по частям:

Тогда:

Ответ:

ЗАДАЧА 3. Найти

Дано:

Решение:

Представим f(x) в виде суммы простых дробей. Имеем:

Тогда, используя метод неопределенных коэффициентов, находим:

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем систему линейных уравнений:

Тогда f(x) может быть представлена в виде:

Откуда:

Ответ:

ЗАДАЧА 4. Найти

Дано:

Решение:

Используем стандартную подстановку тогда:

Переходя к переменной х получим:

Ответ:

ЗАДАЧА 5. Вычислить

Дано:

Решение:

Применим подстановку:

Имеем:

Ответ:

ЗАДАЧА 6. Исследовать на сходимость несобственный интеграл и вычислить его, если он сходиться.

Дано:

Решение:

Имеем:

Предел имеет конечное значение, следовательно, интеграл сходиться.

Ответ: несобственный интеграл сходиться;

ЗАДАЧА 7. Найти площадь области, ограниченной указанными линиями.

Дано:

Решение:

Найдем точки пересечения графиков данных функций:

;

Следовательно, тогда по формуле вычисления площади, заключенной между двумя кривыми будем иметь:

Ответ:

ЗАДАЧА 8. Найти длину дуги кривой l.

Дано:

Решение:

Известно, что длина дуги кривой вычисляется по формуле:

где a и b – интервал. В нашем случае имеем:

Применим метод интегрирования по частям, где:

Ответ:

ЗАДАЧА 9. Найти изображение оригинала f(x) двумя способами:

1. вычислив интеграл

2. воспользовавшись таблицей изображений и свойствами преобразования Лапласа.

Дано:

Решение:

Способ 2.

1)

используя импульсную функцию Хэвисайда, запишем функцию в виде:

2)

здесь, для того чтобы в дальнейшем использовать таблицу соответствий, необходимо произвести «сдвиг» функции:

- смещенная функция.

используя импульсную функцию Хэвисайда, запишем функцию в виде:

3)

и в этом случае, для того чтобы в дальнейшем использовать таблицу соответствий, необходимо произвести «сдвиг» функции:

- смещенная функция.

используя импульсную функцию Хэвисайда, запишем функцию в виде:

В итоге изображение оригинала имеет вид:

ЗАДАЧА 10. Найти оригинал изображения

Дано:

Решение:

Используя метод неопределенных коэффициентов, представим дробь в виде суммы простых дробей. Имеем:

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, имеем систему линейных уравнений:

;

Тогда может быть представлена в виде:

Выделяя полный квадрат в знаменателе последней дроби, разложим ее на сумму таких дробей, оригиналы которых известны. Получим:

Следовательно, используя таблицу соответствий, имеем:

Ответ: