analyzeCourseI(3) (Матан пример решения типовика в MathWorks)

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ «ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»

Студента факультета ООЗП УПОУ, группы ОТО-4-02

Чередина Вениамина.

МОСКВА 2003 г.

ЗАДАЧА 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = f(x) на отрезке [a, b].

Дано: [0, 3].

Решение:

Необходимое условие экстремума:

Если функция f(x) в точке имеет экстремум, то производная обращается в нуль или не существует. Тогда:

откуда:

Отметим что следовательно, - стационарная точка. Тогда на отрезке [0, 3] имеем:

1)

2)

3)

Отсюда следует:

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке [0, 3] достигается при х = 0 и равно y(0) = 7, наименьшее значение функции на отрезке [0, 3] достигается при х = 3 и равно y(3) = (-9).

ЗАДАЧА 2. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

Дано:

Решение:

1) Область определения функции вся ось Ох, за исключением точки х = 3, то есть:

2) Функция не является четной или нечетной.

3) Найдем точки пересечения с осью Ох, имеем

4) Точка разрыва х = 3, причем Следовательно х = 3 есть точка разрыва II рода. Соответственно прямая y = 3 является вертикальной асимптотой графика.

Выясним наличие горизонтальных асимптот:

Следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты:

Следовательно, уравнение асимптоты имеет вид:

5) Найдем экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем:

При имеем: При имеем разрыва II рода при х = 3.

Следовательно, точки х = 1, х = 3, х = 5 разбивают числовую ось на промежутки:

- функция возрастает,

- функция убывает,

- функция убывает,

- функция возрастает.

Следовательно, х = 1 – точка максимума, х = 5 – точка минимума.

6) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Для этого найдем вторую производную от функции:

Имеем:

Следовательно, точек перегиба кривая не имеет. Определим участки вогнутости и выпуклости функции. Имеем:

- график функции выгнут;

- график функции вогнут.

График функции

ЗАДАЧА 3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

Дано:

Решение:

1) Область определения функции все положительные значения оси Ох. То есть:

2) Функция не является четной или нечетной.

3) Найдем точки пересечения с осью Ох, имеем

4) Функция непрерывна.

Выясним наличие асимптот:

Следовательно, горизонтальная асимптота имеет уравнение y = 0, то есть ось Ох.

Следовательно, вертикальная асимптота имеет уравнение х = 0, то есть ось Оy.

5) Найдем экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем:

При имеем: Но в точке функция не определена

Следовательно, точка разбивает числовую ось на промежутки:

- функция возрастает,

- функция убывает.

Следовательно, – точка максимума.

6) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Для этого найдем вторую производную от функции:

Далее:

При функция не определена, следовательно, точка перегиба кривой имеет координаты . Определим участки вогнутости и выпуклости функции. Имеем:

- график функции выгнут,

- график функции вогнут.

График функции

ЗАДАЧА 4. Разложить функцию f(x) по формуле Тейлора в окрестности точки до члена

Дано:

Решение:

Формула Тейлора имеет вид:

где

Отметим, что при Вычислим производные и их значения при

Следовательно, по формуле Тейлора имеем:

Ответ:

ЗАДАЧА 5. Вычислить предел двумя способами:

а) используя разложение по формуле Тейлора;

б) с помощью правила Лопиталя.

Дано:

Решение:

Вариант (а). Для разложения функций и cos(x) воспользуемся формулой Тейлора при Эта формула также называется формулой Макларена. Пусть n = 5, тогда:

Подставляя эти значения в исходное выражение получим:

Вариант 2. Так как искомый предел являет собой неопределенность вида , то для того, чтобы применить правила Лопиталя, необходимо продифференцировать функций, являющиеся числителем и знаменателем дроби. Пусть и Тогда: Как видно, предел частного этих выражение также представляет собой неопределенность вида . Еще раз применим правило Лопиталя. Тогда:

Отсюда имеем:

Ответ:

ЗАДАЧА 6. Построить линию, заданную уравнением в полярных координатах

Дано:

Решение:

Определим точки по которым будет строиться график. Отмечая угол и соответствующую ему длину радиуса получим график функции. Отметим что