Заметим, что есть безразмерный период обращения на k –м витке.

Требуется определить последовательность , и число N, которые доставляют минимум времени перелета (при постоянно работающем двигателе это эквивалентно минимизации затрат топлива) при следующих терминальных условиях:

, , ,

где r* и i* – заданные значения безразмерного радиуса конечной орбиты и наклонения.

Для учета терминальных требований рекомендуется ввести в рассмотрение квадратичный штраф

,

где , , – весовые множители.

Начальные условия: ; i₁ = 60^о;

Конечная орбита: r* = 2…6; i* = 0..50^о;

Безразмерное ускорение a = 0.0001…0.001.

12. Разгон до параболической скорости при минимальном времени работы ДУ

Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги, стартует с начальной круговой орбиты и должен разогнаться до параболической скорости.

Уравнения движения в безразмерных переменных имеют вид²:

где r – радиус; u – радиальная скорость; v – трансверсальная скорость; φ – полярный угол, a – постоянное реактивное ускорение; λ – угол, определяющий ориентацию вектора тяги двигателя в плоскости орбиты; t_M – моторное время;

.

Требуется найти функции и , которые обеспечивают минимум времени работы двигателя при заданном времени разгона t_k и при условии достижения параболической скорости в момент времени t = t_k: .

13. Оптимизация траектории движения носителя

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

– гравитационное поле – плоско-параллельное;

– Земля не вращается.

Модель движения в начальной стартовой системе координат:

,

где h – высота;

m – масса ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

β_m – максимально возможный расход топлива;

g – ускорение силы тяжести;

g₀ – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;

R_P – радиус планеты.

Используя необходимые условия оптимального управления, найти программы управления вектором тяги и расходом топлива, , которые обеспечат максимум горизонтальной скорости на заданной высоте y* при минимальных затратах топлива.

14. Оптимизация траектории движения носителя

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

– гравитационное поле – плоско-параллельное;

– Земля не вращается.

Модель движения в начальной стартовой системе координат:

,

где h – высота;

m – масса ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

β_m – максимально возможный расход топлива;

g – ускорение силы тяжести;

g₀ – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;

R_P – радиус планеты.

Программа управления задана в параметрической форме .

Требуется найти параметры , , при которых достигается максимум горизонтальной скорости на заданной высоте y* при минимальных затратах топлива.

15. Выведение на орбиту

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

– гравитационное поле – центральное;

– Земля не вращается.

Модель движения , , ; , .,

где R₀ – радиус сферической Земли;

μ – гравитационная постоянная;

m – масса топлива;

m₀ – масса сухого ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

β_m – максимально возможный расход топлива;

h – высота над поверхностью сферической Земли.

g₀ – ускорение силы тяжести на поверхности Земли

В конечный момент времени КА должен быть выведен на круговую орбиту заданного радиуса R* при минимальном расходе топлива.

Найти программу управления углом тангажа, используя необходимые условия оптимального управления.

16. Выведение на орбиту

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

– гравитационное поле – центральное;

– Земля не вращается.

Модель движения , , ; , .,

где R₀ – радиус сферической Земли;

μ – гравитационная постоянная;

m – масса топлива;

m₀ – масса сухого ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

β_m – максимально возможный расход топлива;

h – высота над поверхностью сферической Земли.

g₀ – ускорение силы тяжести на поверхности

В конечный момент времени КА должен быть выведен на круговую орбиту заданного радиуса R* при минимальном расходе топлива.

Программа управления углом тангажа задана в параметрической форме

.

Следует найти неизвестные параметры , , сведением исходной задачи программирования управления к задаче нелинейного программирования.

17. Перевод КА в заданное положение на орбите

Космический аппарат орбитальной группировки необходимо перевести в новое место орбитальной структуры. Перевод осуществляется в плоскости опорной круговой орбиты импульсами тяги, прикладываемыми по касательной к орбите. Можно считать, что переходная орбита остается близкой к круговой, а состояние КА можно характеризовать двумя координатами:

x₁ = Δφ – отклонение аргумента широты КА от требуемого при прохождении характерной точки орбиты, например – восходящего узла;

x₂ – скорость дрейфа, численно равная изменению аргумента широты за один драконический период (т.е. между двумя проходами восходящего узла) опорной орбиты.

При импульсной коррекции орбиты математическую модель можно представить в виде

, ,

где N – количество коррекций; – интервал времени (измеряется в оборотах) между коррекциями; u_k – величина k-го импульса скорости дрейфа; μ_k – гауссовская центрированная случайная величина с дисперсией . Статистические характеристики переменных начального состояния заданы.

Цель управления – выполнить терминальные требования

,

при минимальных затратах топлива.

Критерий оптимальности и ограничения аппроксимируем квадратичными функционалами³.

Найти управление , которое обеспечивает минимум энергетических затрат

при условии ,

где ; , , – константа, выбираемая так, чтобы терминальные требования выполнялись бы с достаточной вероятностью.

Для решения задачи ввести критерий Лагранжа .

Исследовать зависимости и при различных N.

Длительности пассивных участков могут быть произвольными положительными (заданы).

18. Разгон КА до параболической скорости за минимальное время.

Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги, стартует с начальной круговой орбиты и должен разогнаться до параболической скорости за минимально возможное время.

Уравнения движения в безразмерных переменных имеют вид⁴:

где r – радиус; u – радиальная скорость; v – трансверсальная скорость; φ – полярный угол, λ – угол, определяющий ориентацию вектора тяги двигателя в плоскости орбиты; – начальное ускорение; V – скорость истечения реактивной струи.

Требуется найти программу управления , которая обеспечивает минимум времени достижения параболической скорости при заданных начальных условиях, ускорении и скорости истечения. Условие достижения параболической скорости имеет вид (при t = t_k)

.

19. Синтез управления при самонаведении

Основные допущения

1). Движение ЛА в трехмерном инерциальном пространстве задается как движение материальной точки под действием управляющего ускорения.

2). Ограничения на направление и величину вектора ускорения отсутствуют

3). Интервал времени, на котором реализуется управление, фиксирован и известен.

4). Начальное состояние ЛА задано.

5). Конечное состояние ЛА определяется положением цели в момент окончания процесса наведения и некоторыми дополнительными условиями.

Уравнения движения: , , где V – вектор скорости, u_p – искомый вектор управления.

Начальные условия известны.

Критерий оптимальности , где – заданная положительно-определенная матрица.

Требуется найти управление u(t), которое минимизирует критерий при условии

.

где r_ц – заданный вектор.

Указание. Для решения задачи использовать методику, приведенную в учебном пособии «Динамическое проектирование систем управления автоматических маневренных летательных аппаратов» под ред. акад. Е.А.Федосова. ( разд.7.3).

20. Синтез управления при самонаведении с учетом терминальной скорости

Основные допущения

1). Движение ЛА в трехмерном инерциальном пространстве задается как движение материальной точки под действием управляющего ускорения.

2). Ограничения на направление и величину вектора ускорения отсутствуют

3). Интервал времени, на котором реализуется управление, фиксирован и известен.

4). Начальное состояние ЛА задано.

5). Конечное состояние ЛА определяется положением цели в момент окончания процесса наведения и некоторыми дополнительными условиями.