book1 (Ивасенко А.Г. и др. Финансовый менеджмент), страница 8

где 1/(1 + i)ⁿ – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.

При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид

, (2.1.18)

где j – номинальная сложная процентная ставка; 1/ – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.

Например, требуется определить современную стоимость платежа в размере 3 млн. руб., который должен поступить через 1,5 года. Процентная ставка составляет 40 %:

при m = 1 P = 3/(1 + 0,4)^1,5 = 1,811 млн. руб.;

при m = 2 (начисление 1 раз в полугодие) P = (3/(1 + 0,4/2)^
^(2  1,5) = 1,736 млн. руб.;

при m = 12 (ежемесячное начисление) P = (3/(1 + 0,4/12)^
^(12  1,5) = 1,663 млн. руб.

По мере увеличения числа начислений процентов в течение года (m) промежуток времени между двумя смежными начислениями уменьшается – при m = 1 этот промежуток равен одному году, а при m = 12 – только 1 месяцу. Теоретически можно представить ситуацию, когда начисление сложных процентов производится настолько часто, что общее его число в году стремится к бесконечности, тогда величина промежутка между отдельными начислениями будет приближаться к нулю, т. е. начисление станет практически непрерывным. Такая, на первый взгляд гипотетическая ситуация имеет важное значение для финансов, поэтому при построении сложных аналитических моделей (например, при разработке масштабных инвестиционных проектов) часто применяют непрерывные проценты. Непрерывная процентная ставка (очевидно, что при непрерывном начислении речь может идти только о сложных процентах) обозначается буквой δ (читается «дельта»), часто этот показатель называют силой роста. Формула наращения по непрерывной процентной ставке имеет вид

, (2.1.19)

где e – основание натурального логарифма (≈ 2,71828...); e^dn – множитель наращения непрерывных процентов.

Например, на сколько возрастет через три года сумма 250 тыс. руб., если сегодня положить ее на банковский депозит под 15 % годовых, начисляемых непрерывно?

S = 250  e^(0,15  3) = 392,1 тыс. руб.

Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками, поскольку сила роста – универсальный показатель. Однако наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции). В этом случае можно строить очень мощные имитационные модели, однако математический аппарат расчета таких моделей достаточно сложен и не рассматривается в настоящем пособии, так же как и начисление процентов по переменной непрерывной процентной ставке.

Непрерывное дисконтирование с использованием постоянной силы роста выполняется по формуле

, (2.1.20)

где 1/e^dn – дисконтный множитель дисконтирования по силе роста.

Например, в результате осуществления инвестиционного проекта планируется получить через два года доход в размере 15 млн. руб. Чему будет равна приведенная стоимость этих денег в сегодняшних условиях, если сила роста составляет 22 % годовых?

P = 15/e^(0,22  2) = 9,66 млн. руб.

2.2. Элементарные финансовые расчеты

В предыдущем параграфе были изложены основные принципы применения процентных вычислений в практических финансовых расчетах. Приведенные в этой главе примеры относились к банковской деятельности, так как в этой сфере механизм их действия наиболее нагляден и понятен. Однако сфера использования финансовых вычислений значительно шире, чем расчет параметров банковских кредитов. Хорошее владение основами финансовой математики позволяет сравнивать между собой эффектив-

ность отдельных операций и обосновывать наиболее оптимальные управленческие решения. Для анализа финансовых показателей в настоящее время применяются самые изощренные математические методы. Наличие докторской степени по математике пока не является обязательным требованием для финансового менеджера большинства предприятий, однако знание элементарных свойств финансовых показателей и основных взаимосвязей между ними необходимо начиная с первого дня практической работы.

Большую помощь финансисту оказывают специальные компьютерные программы, а также финансовые калькуляторы, позволяющие автоматизировать вычисление многих показателей. Для начисления сложных процентов и дисконтирования широко используются финансовые таблицы. В этих таблицах приводятся значения множителей наращения (дисконтных множителей) для заданных n и i. Для нахождения наращенной стоимости достаточно умножить известную первоначальную сумму на табличное значение множителя наращения. Аналогично можно найти приведенную величину будущих денег, умножая их сумму на дисконтный множитель из таблицы. Рассмотрим некоторые другие элементарные способы использования результатов финансовых вычислений.

В условиях нестабильной экономики банки и другие кредиторы с целью снижения своего процентного риска могут устанавливать переменные ставки процентов для различных финансовых операций. Например, по ссуде в размере 2 млн. руб. общей продолжительностью 120 дней в течение первых двух месяцев будут начисляться 30 % годовых, а начиная с 61 дня ежемесячно простая процентная ставка будет увеличиваться на 5 % (обыкновенные проценты). Фактически ссуда разбивается на несколько составляющих, по каждой из которых установлены свои условия. Необходимо найти наращенные суммы по каждой из составляющих, а затем сложить их. Вспомним, что аналогом процентной ставки в статистике является показатель «темп прироста». При начислении простых процентов следует говорить о базисных темпах прироста, так как первоначальная сумма P остается неизменной. Данная задача в статистических терминах может быть интерпретирована как сложение базисных темпов прироста с последующим умножением на первоначальную сумму займа. Общая формула расчета будет иметь следующий вид:

, (2.2.1)

где N общее число периодов, в течение которых проценты начисляются по неизменной ставке. Подставив в это выражение условия нашего примера, получим

S = 2(1 + (60 60  0,3) + (30/360  0,35) + (30/360  0,4)) = = 2,225 млн. руб.

Соответственно для сложных процентов речь пойдет уже не о базисных, а о цепных темпах прироста, которые должны не складываться, а перемножаться

. (2.2.2)

Подставив условия примера, получим

S = 2(1 + 0,3)^60/360(1 + 0,35)^30/360(1 + 0,4)^30/360 = 2,203 млн. руб.

Данную задачу можно решить несколько иным путем – рассчитав сначала средние процентные ставки. Расчет средних процентных ставок (или расчет средних доходностей) – вообще очень распространенная в финансах операция. Для ее выполнения полезно опять вспомнить о математико-статистической природе процентных ставок. Так как начисление простых процентов происходит в арифметической прогрессии, средняя простая ставка рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная

, (2.2.3)

где N – общее число периодов, в течение которых процентная ставка оставалась неизменной

Сложные проценты растут в геометрической прогрессии, поэтому средняя сложная процентная ставка рассчитывается как средняя геометрическая взвешенная. В качестве весов в обоих случаях используются продолжительности периодов, для которых действовала фиксированная ставка

. (2.2.4)

Снова используем данные нашего примера. В случае начисления простых процентов получим

ī_пр = ((0,3  60) + (0,35  30) + (0,4  30))/120 = 0,3375 = 33,75 %,

S = 2(1 + 0,3375  120/360) = 2,225 млн. руб.

Таким образом, средняя процентная ставка составила 33,75 % и начисление процентов по этой ставке за весь срок ссуды дает такой же результат, как и тот, что был получен по формуле (2.2.1). Для сложных процентов выражение примет вид

ī_сл = ((1 + 0,3)⁶⁰(1 + 0,35)³⁰(1 + 0,4)³⁰)^1/120 – 1 = 0,33686 = 33,69 %,

S = 2(1 + 0,33686)^120/360 = 2,203 млн. руб.

Начисление процентов по средней процентной ставке 33,69 % также дает результат, эквивалентный тому, что был получен по формуле (2.2.2).

Понимание различий механизмов наращения простых и сложных процентов помогает избежать довольно распространенных ошибок. Например, следует помнить, что такой процесс, как инфляция, развивается в геометрической, а не в арифметической прогрессии, т. е. к нему должны применяться правила начисления сложных, а не простых процентов. Темпы прироста цен в этом случае будут цепными, а не базисными, так как в каждом последующем месяце рост цен относится к предыдущему месяцу, а не к началу года или какой-либо иной неизменной базе. Например, если инфляция в январе составила 5 %, в феврале 4 %, а в марте 9 %, то общая инфляция за квартал будет равна не 18 % (сумма месячных показателей), а 19,03 % (1,05  1,04  1,09 – 1). Среднемесячный уровень инфляции за этот квартал составит
(1,05  1,04  1,09)^1/3 – 1 = 5,98 %. Вместе с тем, если среднемесячная инфляция за год составила 5,98 %, то это не значит, что общая инфляция за год в 12 раз больше (71,76 %). На самом деле годовая инфляция в этом случае составит свыше 100,7 % (1,0598¹² – 1).

В предыдущей главе обращалось внимание на сложности, возникающие при попытке понять смысл антисипативного начисления процентов. Рассмотрим ситуацию, в которой необходимо прибегнуть именно к этому способу. Например, коммерсант предлагает вместо оплаты наличными выписать на стоимость закупленных материалов вексель в сумме 500 тыс. рублей со сроком оплаты через 90 дней, который может быть учтен в банке по простой учетной ставке 25 % годовых (коммерческие проценты с точным числом дней ссуды). Для определения суммы, которую понадобится проставить в этом векселе, необходимо начислить проценты на стоимость товаров, используя антисипативный метод. Сумма векселя составит 533,333 тыс. рублей (500  1/(1 – – 90/360  0,25). Если продавец в тот же день учтет вексель в банке (на оговоренных условиях), то получит на руки ровно 500 тыс. руб. (533,333(1 – 90/360  0,25)). Таким образом, начисление антисипативных процентов используется для определения наращенной суммы, которая затем будет дисконтироваться по той же самой ставке, по которой производилось начисление. Такое чисто техническое использование наращения по учетной ставке преобладает в практических расчетах.

Наряду с расчетом будущей и современной величины денежных средств часто возникают задачи определения других параметров финансовых операций: их продолжительности и величины процентной или учетной ставок. Например, может возникнуть вопрос: сколько времени понадобится, чтобы данная сумма при заданном уровне процентной ставки удвоилась, или при каком уровне учетной ставки в течение года исходная сумма возрастет в полтора раза? Решение подобных задач сводится к преобразованию соответствующей формулы наращения (дисконтирования) таким образом, чтобы вычислить значение неизвестного параметра. Например, если надо рассчитать продолжительность ссуды по известным первоначальной и будущей суммам, а также уровню простой процентной ставки, то, преобразуя формулу начисления простых декурсивных процентов (S = P(1 + ni)), получим формулу (2.2.5) из табл. 2.2.1. По такой же формуле будет определяться срок до погашения обязательства при математическом дисконтировании.

Определение срока финансовой операции для антисипативного начисления процентов и банковского учета производится по формуле (2.2.6) из табл. 2.2.1. Например, нужно определить, через какой период времени произойдет удвоение суммы долга при начислении на нее 20 % годовых простых: а) при декурсивном методе начисления процентов; б) при использовании антисипативного метода. Временная база в обоих случаях принимается равной 365 дням (точные проценты). Применив формулы (2.2.5) и (2.2.6), получим:

а) t = (2 – 1)/0,2  365 = 1825 дней (5 лет);

б) t = (1 – 1/2)/0,2  365 = 912,5 дней (2,5 года).

Таблица 2.2.1

Формулы расчета продолжительности финансовых операций