book1 (Ивасенко А.Г. и др. Финансовый менеджмент), страница 10

В качестве иллюстрации рассчитаем доходность облигации из предыдущего примера как ставку сложного процента (наращение 1 раз в году):

i = (10/8,2)^365/40 – 1 ≈ 511,6 %.

Этот результат более чем в 2,5 раза превышает доходность, рассчитанную как ставка простых процентов. Означает ли это, что инвестор, использующий для расчета доходности сложные проценты, в два с половиной раза богаче того, кто, купив в один день с ним точно такую же облигацию, применяет для вычислений простые проценты? Тогда последнему следует срочно разучивать новую формулу и точно так же богатеть.

Однако в случае сложных процентов не все так однозначно. Если рассчитывать доходность как сложную номинальную ставку (16), то ее уровень резко снизится. При m = 12 получим

j = 12((10/8,2)^{1/(12  40/365)}) – 1 ≈ 195,5 %.

При расчете доходности как силы роста – непрерывные проценты (19) – ее уровень будет более точно соответствовать тому, что был рассчитан с помощью простой процентной ставки,

d = ln(10/8,2)/(40/365) ≈ 203,6 %.

Чтобы не запутаться в обилии методов расчета процентных ставок, не обязательно зазубривать каждую формулу. Достаточно четко представлять, каким образом она получена. Кроме того, следует помнить, что любому значению данной ставки может быть поставлено в соответствие эквивалентное значение какой-либо другой процентной или учетной ставки. В предыдущей главе был приведен подобный пример эквивалентности между простыми процентной и учетной ставками (2.2.5). Эквивалентными называются ставки, наращение или дисконтирование по которым приводит к одному и тому же финансовому результату. Например, в условиях последнего примера эквивалентными являются простая процентная ставка 200,3 % и сложная процентная ставка 511,6 %, так как начисление любой из них позволяет нарастить первоначальную сумму 8,2 тыс. руб. до 10 тыс. руб. за 40 дней. Приравнивая между собой множители наращения (дисконтирования), можно получить несложные формулы эквивалентности различных ставок. Для удобства эти формулы представлены в табличной форме. В заголовки граф табл. 2.2.2 помещены простые процентная (i) и учетная (d) ставки. В заголовках строк этой таблицы указаны все рассмотренные в данном пособии ставки. На пересечении граф и столбцов приводятся формулы эквивалентности соответствующих ставок. В таблицу не включены уравнения эквивалентности простых процентных и сложных учетных ставок вследствие маловероятности возникновения необходимости в таком сопоставлении.

Знание уравнений эквивалентности позволяет без труда переходить от одного измерения доходности к другому. Например, доходность облигаций по простой процентной ставке составила за полгода 60 %. По формуле (2.2.21) найдем, что в пересчете на сложные проценты это составляет 69 %. Доходность векселя, дисконтированного по простой учетной ставке 50 % за 3 месяца до срока погашения, в пересчете на простую процентную ставку составит 57,14 % (2.2.34), если же по процентной ставке принята точная временная база (365 дней), то, применив формулу (2.2.36), получим i = 57,94 %).

Например, предприятие может столкнуться с необходимостью выбора между получением кредита на 5 месяцев под сложную номинальную ставку 24 % (начисление процентов поквартальное) и учетом в банке векселя на эту же сумму и с таким же сроком погашения. Небходимо определить простую учетную ставку, которая сделает учет векселя равновыгодной операцией по отношению к получению ссуды. По формуле (26) получим
d = 22,21 %.

Кроме формул, приведенных в табл. 2.2.2 и 2.2.3, следует отметить еще одно полезное соотношение. Между силой роста и дисконтным множителем декурсивных процентов существунт следующая связь:

. (2.2.38)

Таблица 2.2.2

Эквивалентность простых ставок

Таблица 2.2.3

Эквивалентность сложных процентных ставок

По мере усложнения задач, стоящих перед финансовым менеджментом, сфера применения непрерывных процентов будет расширяться, так как при этом становится возможным использовать более мощный математический аппарат. Особенно наглядно это проявляется в случае непрерывных процентных ставок. В практике финансистов данный способ пока еще не занял должного места, что в какой-то мере объясняется его непри-вычностью, может быть, чересчур «отвлеченным» характером. Однако трезвый анализ показывает, что предположение о непрерывности реинвестирования начисленных процентов не так уж абстрактно и нереально. В самом деле, как для простых, так и для сложных процентов, факт непрерывности их начисления ни у кого не вызывает сомнений (годовая ставка 36 % означает 3 % в месяц, 0,1 % в день и т. д., т. е. можно начислять проценты хоть за доли секунды). Но точно такой же аксиомой для финансов является признание возможности мгновенного реинвестирования любых полученных сумм. Что же мешает совместить два этих предположения? В теории сумма начисленных процентов может (и должна) реинвестироваться сразу по мере ее начисления, т. е. непрерывно. В данном утверждении ничуть не меньше логики, чем в предположении, что реинвестирование должно производиться дискретно. Почему реинвестирование 1 раз в год считается более «естественным» чем 12 или 6 раз? Почему эта периодичность привязывается к календарным периодам (год, квартал, месяц), почему нельзя реинвестировать начисленные сложные проценты, скажем, 39 раз в год или 666 раз за период между двумя полнолуниями? На все эти вопросы ответ, скорее всего, будет один – так сложилось, так привычно, так удобнее. Но выше уже было отмечено, что практический расчет величины реальных денежных потоков (например, дивидендных или купонных выплат) и определение доходности финансовых операций – это далеко не одно и то же. Если привычнее и удобнее выплачивать купон по облигации два раза в год, то так и следует поступать. Но определять доходность этой операции более логично по ставке непрерывных процентов.

Например, по вкладу в размере 10 тыс. руб. начисляется 25 простых процентов в год. В конце первого года вклад возрастет до 12 500 руб. Доходность, измеренная как по простой (формула 2.2.12), так и сложной (2.2.14) процентной ставкам i, составит 25 % годовых. Однако, измеряя доходность по номинальной ставке j (2.2.15) при m = 2, получим лишь 23,61 %, так как в этом случае будет учтена потерянная вкладчиком возможность реинвестирования процентов хотя бы два раза в год. Если же измерить доходность по силе роста (2.2.18), то она окажется еще ниже – всего 22,31 %, так как теоретически можно реинвестировать начисленные проценты не два раза в год, а непрерывно.

2.3. Определение современной

и будущей величины денежных потоков

Содержание двух предыдущих глав было посвящено вопросам, относящимся исключительно к единичным, разовым платежам, хотя для финансового менеджмента наибольший интерес представляет изучение денежных потоков. Основные правила процентных вычислений, рассмотренные нами ранее, остаются неизменными и для совокупности платежей, однако возникает необходимость ввести несколько дополнительных понятий. В финансовом анализе для обозначения денежных потоков в наиболее общем смысле используется термин рента. Каждый от-

дельный рентный платеж называют членом ренты. Частным случаем ренты является финансовая рента, или аннуитет, – такой поток платежей, все члены которого равны друг другу, так же как и интервалы времени между ними. Часто аннуитетом называют финансовый актив, приносящий фиксированный доход ежегодно в течение ряда лет. В буквальном переводе «аннуитет» означает выплату с интервалом в один год, однако встречаются потоки с иной периодичностью платежей. Очевидно, что рента – это более широкое понятие, чем аннуитет, так как существует множество денежных потоков, члены которых не равны друг другу или распределены неравномерно.