book1 (Ивасенко А.Г. и др. Финансовый менеджмент), страница 12

В таблице не нашли отражения формулы расчета неограниченных денежных потоков, т. е. вечных рент, или перпетуитетов. Существуют финансовые инструменты, предполагающие бессрочную выплату доходов их держателям. Одним из примеров таких ценных бумаг служат так называемые консоли (консолидированные ренты), эмитируемые британским казначейством начиная с XVIII в. В случае смерти владельца они передаются по наследству, обеспечивая тем самым действительную «бесконечность» денежного потока. Очевидно, что будущую стоимость ренты такого рода определить невозможно – ее сумма также будет стремиться к бесконечности, однако приведенная величина вечного денежного потока может быть выражена действительным числом. Причем формула ее определения очень проста:

, (2.3.17)

где R – член ренты (разовый платеж); i – сложная процентная ставка.

Таблица 2.3.3

Основные формулы наращения и дисконтирования

ограниченных аннуитетов

Например, по условиям страхового договора компания обязуется выплачивать 5 тыс. руб. в год на протяжении неограниченного периода, т. е. вечно. Чему должна быть равна стоимость этого перпетуитета, если уровень процентной ставки составит 25 % годовых? Текущая стоимость всех предстоящих платежей по договору будет равна 20 тыс. руб. (5/0,25).

Если неограниченная рента выплачивается p раз в году и начисление процентов по ней производится m раз за год, причем m = p, то формула расчета ее приведенной стоимости принимает вид

, (2.3.18)

где j – номинальная процентная ставка.

Предположим, рассмотренный выше перпетуитет будет выплачиваться дважды в год по 2,5 тыс. руб., столько же раз будут начисляться проценты (25 % в этих условиях становится номинальной ставкой). Его стоимость останется неизменной 20 тыс. руб.
((2,5 + 2,5)/0,25).

В наиболее общем виде (m > 1, p > 1, m ≠ p) формула приведенной стоимости перпетуитета записывается следующим образом:

. (2.3.19)

В принципе, ее можно использовать во всех случаях, подставляя соответствующие значения параметров m, p, j, или i. Если предположить четырехразовое начисление процентов по рассматриваемому перпетуитету, то в соответствии с (19) его текущая стоимость составит: 19,394 тыс. руб. (5/(2((1 + 0,25/4)^4/2 – 1))).

Интересно отметить связь, существующую между годовой вечной и годовой ограниченной рентами (аннуитетами). Преобразовав правую часть формулы (2.3.4), получим

. (2.3.20)

Таким образом, современная величина конечной ренты, имеющей срок n периодов, может быть представлена как разница между современными величинами двух вечных рент, выплаты по одной из которых начинаются с первого периода, а по второй – с периода (n+1).

В случае если член вечной ренты R ежегодно увеличивается с постоянным темпом прироста g, то приведенная стоимость такой ренты определяется по формуле

, (2.3.21)

где R₁ – член ренты в первом году.

Данная формула имеет смысл при g < i. Она применяется в оценке обыкновенных акций.

При сравнении приведенной стоимости различных аннуитетов можно избежать громоздких вычислений, запомнив следующее правило: увеличение числа выплат по ренте в течение года (p) увеличивает ее текущую стоимость, увеличение числа начислений процентов (m), наоборот, уменьшает. При заданных значениях R, n, i (j, d) наиболее высокий результат даст дисконтирование p-срочной ренты с одним начислением процентов в год (m = 1). Самый низкий результат при этих же условиях будет получен по годовой ренте (p = 1) с непрерывным начислением процентов. По мере увеличения p современная величина ренты будет расти, по мере роста m она будет снижаться. Причем изменение p дает относительно больший результат, чем изменение m. То есть любая p-срочная рента даже с непрерывным начислением процентов (m → ∞) будет стоить дороже, чем годовая рента (p = 1) с одним начислением процентов в год (m = 1). Например, по облигации предусмотрена ежегодная выплата 1 тыс. руб. в течение 5 лет. Процентная ставка составляет 20 %. При начислении декурсивных процентов один раз в год стоимость этой ренты по базовой формуле (2.3.4) составит 2,99 тыс. руб. Если выплаты будут производиться два раза в год по 500 руб., то по формуле (2.3.12) стоимость ренты будет равна уже 3,13 тыс. руб. Но если по последнему варианту начислять проценты два раза в год (2.3.13), текущая величина ренты снизится до 3,07 тыс. руб. Если же двукратное начисление применить к исходному варианту при p = 1 (11), то приведенная стоимость ренты станет еще меньше – 2,93 тыс. руб. Самым дешевым будет вариант годовой ренты (p = 1) с непрерывным начислением процентов (2.3.15) – 2,86 тыс. руб.

2.4. Основные параметры денежных потоков

Несмотря на то что общее количество формул, приведенных в трех предыдущих главах, уже приблизилось к сотне, можно смело утверждать, что это лишь малая часть того, что имеется в арсенале финансовых вычислений. Буквально по каждому из рассмотренных способов осталась масса незатронутых вопросов: ренты пренумерандо, переменные денежные потоки, использование простых процентов в анализе рент и так далее, почти до бесконечности. Тем не менее, усвоив базовые понятия финансовых расчетов, можно заметить, что все дальнейшие рассуждения строятся по довольно универсальному алгоритму. Определяется математическая природа понятия и основные ограничения, накладываемые на него при практическом использовании. Например, сложные проценты наращиваются в геометрической прогрессии. Они применяются по большей части в расчетах по долгосрочным финансовым операциям. Затем находится решение основных задач, связанных с данным понятием – начисление и дисконтирование по сложным процентным и учетным ставкам. После этого разрабатывается методика расчета остальных параметров уравнений, описывающих данное понятие, и решается проблема нахождения эквивалентных значений отдельных параметров. При этом основным методом решения задач служат преобразование или приравнивание друг к другу множителей наращения (дисконтирования) различных показателей. Поняв эти закономерности, можно отказаться от заучивания всех возможных формул и попытаться применить данную методику для решения конкретных финансовых задач, держа при этом в памяти лишь полтора-два десятка основополагающих выражений (например, формулы расчета декурсивных и антисипативных процентов и т. п.).

Используем данный алгоритм для финансового анализа денежных потоков, в частности для расчета отдельных параметров финансовых рент. Например, предприятию через три года предстоит погасить задолженность по облигационному займу в сумме 10 млн. руб. Для этого оно формирует погасительный фонд путем ежемесячного размещения денежных средств на банковский депозит под 15 % годовых сложных процентов с начислением один раз в год. Чему должна быть равна величина одного взноса на депозит, чтобы к концу третьего года в погасительном фонде вместе с начисленными процентами накопилось 10 млн. руб.?

Планируемые предприятием взносы представляют собой трехлетнюю p-срочную ренту, p = 12, m = 1, будущая стоимость

которой должна быть равна 10 млн. руб. Неизвестным является ее единственный параметр – член ренты R. В качестве базовой используем формулу (2.3.6) из табл. 3.3.3. Данное уравнение следует решить относительно R/12 (так как планируются ежемесячные взносы). Обозначим r = R/12. Преобразовав базовую формулу, получим

Следовательно, размер ежемесячного взноса должен составить примерно 225 тыс. руб. (более точная цифра – 224,908).

Размер долга по займу (10 млн. руб.) был задан как условие предыдущего примера. На самом деле, часто данный параметр также является вычисляемой величиной, так как наряду с основной суммой займа должник обязан выплачивать проценты по нему. Предположим, что 10 млн. руб. – это основная задолженность по облигационному займу, кроме этого необходимо ежегодно выплачивать кредиторам 10 % основной суммы в виде процентов. Чему будет равна сумма ежемесячного взноса в погасительный фонд с учетом процентных выплат по займу? Так как проценты должны выплачиваться ежегодно и их годовая сумма составит 1 млн. руб. (10 млн. руб.  10 %), нам опять следует рассчитать член ренты r (R/12) по ренте сроком n = 1 год, p = 12, m =1, i = 15 %. По базовой формуле (2.3.6) его величина составит

Ежемесячно в погасительный фонд будет необходимо вносить около 78 тыс. руб. (более точная цифра – 78,0992) для ежегодной выплаты процентов в сумме 1 млн. руб. Таким образом, общая сумма ежемесячных взносов в погасительный фонд составит 303 тыс. руб. (225 + 78).

Условиями займа может быть предусмотрено присоединение суммы начисленных за год процентов к основному долгу и погашение в конце срока наращенной величины займа. Таким образом, в конце срока эмитенту займа придется возвратить
13 млн. 310 тыс. руб. (10(1 + 0,1)³). Величину ежемесячного взноса в погасительный фонд найдем, используя все ту же базисную формулу (2.3.6)