13. Подборка задач по теме «решение иррациональных неравенств».

14. Классические неравенства.

Рассмотрим некоторые наиболее важные для математического анализа неравенства. Эти неравенства служат аппаратом, который повседневно используют специалисты, работающие в этой области математики.

Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом.

Теорема 1. Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел а и b не меньше их среднего геометрического, т. е.:

(1)

Равенство имеет место в том и только том случае, когда a = b.

Доказательство. Поскольку квадратный корень может доставить немало хлопот, мы постараемся от него избавиться, положив a = c², b = d², что допустимо, ибо в теореме 1 предполагается, что числа а и b неотрицательны. При этом соотношение (1), в справедливости которого для произвольных неотрицательных чисел а и b мы хотим убедиться, примет следующий вид:

, (2)

где с и d – произвольные действительные числа.

Неравенство (2) имеет место в том и только том случае, когда

,

что в силу основных правил, относящихся к неравенствам, равносильно тому, что

с² + d² – 2cd ≥ 0 (3)

Но с² + d² – 2cd = (с – d)² , значит неравенство (3) равносильно

(с – d)² ≥ 0 (4)

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то ясно, что соотношение (4) всегда имеет место. Значит справедливы и неравенства (3), (2), (1). Равенство в формуле (4), а значит и в формуле (1) достигается в том и только в том случае, когда c – d = 0, т.е. c = d, или, иначе говоря, когда a = b.

Покажем теперь, что теорему 1 можно вывести геометрическим путем простого сравнения некоторых площадей.

Рассмотрим график функции у = х, изображенный на рисунке.

Пусть S и Т точки прямой у = х с координатами (с, с) и (d, d). Рассмотрим также точки Р(с, 0), Q(0, d), R(c, d). Так как длина отрезка ОР равна с, то длина отрезка PS также равна с. Поэтому площадь ∆OPS, полупроизведение длин его основания и высоты равна .

Рассмотрим теперь прямоугольник OPRQ. Он полностью покрывается ∆OPS и ∆OQT, так что

S_OPS + S_OQT ≥ S_OPRQ (5)

Так как площадь прямоугольника OPRQ – произведение длин его основания и высоты – равна сd, то при помощи алгебраических символов соотношение (5) можно записать так:

Кроме того, легко видеть, что равенство достигается только тогда, когда площадь ∆TRS равна нулю, что возможно только при условии совпадания точек S и Т, т. е. когда с = d.

Теорема 2. Среднее арифметическое любых трех неотрицательных чисел a, b и с не меньше их среднего геометрического, т.е.

(1)

Равенство достигается в том случае и только том случае, когда а = b = с.

Доказательство: пусть а = х³, b = у³, с = z³.

Подставим эти значения в неравенство (1):

, (2)

что равносильно неравенству

x³ + y³ + z³ – 3xyz  0 (3)

Мы докажем теорему 2, если установим, что неравенство (3) имеет место для произвольных неотрицательных чисел x, y, z.

x³ + y² + z² – 3xyz = (x + y + z + )(x² + y² + z² – xy – xz – yz) (4)

x + y + z – неотрицательное число, покажем, что

x² + y² + z² – xy – xz – yz  0 (5)

Выпишем три неравенства x² + y²  2xy, x² + z²  2xz, y² + z²  2yz (эти неравенства истинны по теореме 1) и сложим их почленно:

2(x² + y² + z²)  2(xy + xz + yz)

это неравенство равносильно неравенству (5). Равенство достигается тогда и только тогда, когда x = y = z.

Мы получили, что в (4) левая часть  0, т.е. неравенство (3) имеет место. Но неравенство (3) равносильно (1). Теорема доказана. Условие x = y = z равносильно условию a = b = c.

Теорема будет верна и для n чисел, примем ее без доказательства.

Теорема 3. Среднее арифметическое любых n неотрицательных чисел а₁, а₂,…а_n не меньше их среднего геометрического, т.е.

Равенство достигается в том и только том случае, когда а1 = а2 = аn.

Неравенство Коши.

а) Двумерный вариант:

(1)

для любых неотрицательных чисел a, b c, d.

Доказательство. Так как a, b, c, d – неотрицательные, то ac + bd  0 и имеем право возвести в квадрат обе части неравенства (1):

(a² + b²)(c² + d²)  (ac + bd)² (2)

В первую очередь отметим, что неравенство a² + b²  2ab, на котором основывались все выводы в предыдущих теоремах, является простым следствием тождества a² – 2ab + b² = (a – b)², верного для всех действительных чисел. Рассмотрим произведение

(a² + b²)(c² + d²)

Произведя умножение, получим многочлен a²c² + b²d² + a²d² + b²c²,

Совпадающий с тем, который получается после раскрытия скобок в выражении (ac + bd)² + (bc – ad)²

Отсюда получаем

(a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (bc – ad)² (3)

Так как квадрат (bc – ad)² неотрицателен, то из (3) следует неравенство

(a² + b²)(c² + d²)  (ac + bd)²

для любых действительных чисел a, b, c, d.

Мы получили неравенство (2) – неравенство Коши для любых действительных чисел a, b, c, d.

Для любых неотрицательных чисел a, b, c, d неравенство Коши примет вид (1). Из соотношения (3) вытекает, что равенство в (2), а значит и в (1) достигается тогда и только тогда, когда

bc – ad = 0 (4)

В этом случае говорят, что две пары чисел (a, b) и (c, d) пропорциональны. При с  0 и d  0 условие (4) можно записать следующим образом:

Геометрическая интерпретация.

Рассмотрим треугольник, изображенный на рисунке.

Очевидно, что длины отрезков OР и OQ и PQ определяются равенствами

ОР = (a² + b²)^½

ОQ = (c² + d²)^½

РQ = [(a – c)² + (b – d)²]^½

Обозначим угол между сторонами ОР и OQ через . На основании теоремы косинусов имеем:

PQ2 = OP2 + OQ2 – 2OP  OQ cos

Подставляя значения OP, OQ, и РQ и упрощая полученное выражение, имеем

Поскольку значение косинуса всегда заключено между –1 и +1, мы имеем

-1  cos   1

или

значит

А это двумерный вариант неравенства Коши. Кроме того, мы видим, что равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда сos  =1, т.е. когда  = 0 или  = , - другими словами в том и лишь в том случае, когда точки О, Р, и Q лежат на одной прямой. При этом должно иметь место равенство подъемов прямых ОР и OQ; иначе говоря, если с  0 и d  0, то должно быть

б) Трехмерный вариант неравенства Коши.

Вышеприведенная интерпретация неравенства Коши для двумерного случая хороша еще и тем, что позволяет нам при помощи геометрической интуиции легко сообразить, какой вид будут иметь аналогичные результаты, относящиеся к более сложному случаю любого числа измерений. Перейдем к случаю трехмерного пространства. Пусть Р(а₁, а₂, а₃) и Q(b₁, b₂, b₃) – две точки, не совпадающие с началом координат О (0, 0, 0). Тогда косинус угла  между прямыми ОР и OQ будет определяться равенством

которое, в силу того, что сos  1, приводит к трехмерному варианту неравенства Коши для неотрицательных чисел а_i и b_i, i = 1, 2, 3

(1)

Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда три точки О, Р и Q лежат на одной прямой, что выражается соотношениями

имеющими смысл при условии, что все числа bi, стоящии в знаменателях отличны от нуля.

Чисто алгебраическое доказательство трехмерного варианта неравенства Коши (1) можно вывести из следующего тождества:

(a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) – (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)² = (a₁²b₂² + a₂²b₁²) +

+ (a₁²b₃² + a₃²b₁²) + (a₂²b₃² + a₃²b₂²) – 2a₁b₁a₂b₂ – 2a₁b₁a₃b₃ – 2a₂b₂a₃b₃ =

= (a₁b₂ – a₂b₁)² + (a₁b₃ – a₃b₁)² + (a₂b₃ – a₃b₂)² (2)

Очевидно, что последнее выражение в (2) неотрицательно, так как оно состоит из суммы трех неотрицательных членов. Поэтому

(a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) – (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²  0.

Приведем еще одно доказательство этого неравенства, которое пригодится нам дальше.

Начнем с основного неравенства (х – у²)  0, которое можно записать в следующем виде:

(3)

Неравенство (3) имеет место для любых действительных чисел х и у. Вместо х и у последовательно подставим в (3) следующие выражения:

сначала:

затем

и, наконец,

где a_i, b_i – действительные числа.

Складывая три полученных таким образом неравенства, имеем

,

что бесспорно равносильно неравенству

(a₁² + a₂² + a₃²)^½(b₁² + b₂² + b₃²)^½  a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

А это неравенство равносильно неравенству (1) при a_i, b_i – неотрицательных.

в) n – мерный вариант неравенства Коши будет выглядеть так

,

где a_i, b_i, i = 1, 2, … n – неотрицательные числа.

Неравенство Гёльдера.

Одно из наиболее полезных неравенств математического анализа – неравенство Гёльдера. Оно утверждает, что для любой системы неотрицательных чисел a_i и b_i (i – 1, 2, … , n)

(1)

где числа р и q удовлетворяют условию

и р > 1

Фактически мы докажем неравенство (1) только для рациональных р и q. Однако окончательный результат сохраняет силу и для иррациональных р и q.

Начнем с неравенства

(2)