Для обозначения высших степеней употреблялись позже составные выражения "биквадрат" или "квадрато-квадрат" для четвертой степени, или "кубоквадрат" для пятой и т.д. Современные названия предложены голландским ученым С.Стевином (1548-1620), который обозначал степени в виде 2, 3 и т.д. Он же начал систематически употреблять дробные показатели степени для обозначения корней.

В настоящее время для извлечения корня употребляется два обозначения: знак радикала и дробные показатели. Предпочтительнее использовать обозначения со знаком радикала - обозначения с дробными показателями являются скорее данью традиции. Степени с отрицательными показателями ввел английский математик Д.Уоллис.

Неравенства встречаются в математике еще в глубокой ревности. Рассмотрим некоторые из них.

1. Среднее геометрическое двух положительных чисел меньше их среднего арифметического (Евклид).

2. Архимед установил неравенства

3. Если - наибольший квадрат, содержащийся в числе, а - остаток, то

при

при

(Аль-Кальсади, Трактат "Раскрытие тайн науки Габар", XV век).

Дальнейшие обобщения натуральных, целых, рациональных и т.д. чисел привели к понятию алгебраической системы, в частности, к понятию кольца и поля. Так, иррациональные числа с алгебраической точки зрения являются элементами поля , они не содержатся в поле , и поле является расширением поля .

2. Неравенства и их основные свойства

Мы будем рассматривать положительные, отрицательные действительные числа и число . Изобразим горизонтальную числовую прямую, направленную вправо и числа на ней.

При движении вдоль прямой слева направо числа будут появляться в порядке их возрастания. Ясно, что . Но , так как точка, изображающая , расположена правее точки, изображающей . Таким образом, мы имеем следующее геометрическое правило для определения неравенства:

Пусть и - какие-нибудь два действительных числа, изображенных точками горизонтальной числовой прямой, направленной слева направо. Тогда в том и только том случае, когда точка, изображающая число , лежит правее точки, изображающей число .

Это геометрическое правило можно заменить простым арифметическим правилом, если принять понятие положительного числа за основное:

Пусть и - какие-нибудь два действительных числа. Тогда в том и только том случае, когда положительно. В частности всякое положительное число больше нуля, ибо разность положительна. Поэтому неравенство употребляется для символической записи утверждения, что число положительно. Отрицательное число определяется как число, противоположное положительному числу относительно точки на числовой прямой. Всякое отрицательное число меньше нуля, ибо, если отрицательно, то положительно. Запись употребляется для обозначения утверждения, что отрицательное число.

Число нуль обладает тем свойством, что для любого действительного числа .

Итак, числа и могут относиться друг к другу следующим образом:

1).

2).

3).

Причем всегда имеет место одно и только одно из этих соотношений.

Рассмотрим теперь основные свойства неравенств.

Теорема 1. Если и , то .

Это свойство называется свойством транзитивности неравенств.

В самом деле,

как сумма двух отрицательных слагаемых. Дадим геометрическое толкование свойства транзитивности: точка на числовой прямой расположена левее точки , а точка левее точки , при этих условиях точка расположена левее точки .

Теорема 2. Если , то , т.е. при изменении знака обеих частей неравенства смысл знака неравенства меняется на обратный.

Действительно,

Следовательно, по определению .

Геометрическая иллюстрация:

Теорема 3. Если и , то , т.е. обе части неравенства можно умножить на положительное число.

Действительно,

Но и . Следовательно, . Итак, , т.е. , что и требовалось доказать.

Теорема 4. Если и , то , т.е. при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Действительно,

.

Но , , следовательно, и , т.е. .

Теорема 5. Если и , то , т.е. при умножении обеих частей неравенства на нуль неравенство переходит в равенство.

Действительно,

Теорема 6. Если и - произвольное число, то , т.е. к обеим частям неравенства можно прибавить произвольное число.

Действительно, , где . Следовательно, , а так как , имеем: .

Теорема 7. Если , и , то . Предварительно напомним, что есть обратное число, т.е. такое, что . Имеем . Но, с другой стороны,

Следовательно, и , так как, если произведение и один из множителей положительны, то и другой множитель положителен. Значит .

Теорема 8. Если , то , т.е. квадрат любого отличного от нуля числа положителен. Это следует из определения умножения положительных и отрицательных чисел.

Теорема 9. Если и , то , т.е. два неравенства одинакового смысла можно сложить.

Имеем , ,где и . Следовательно,

или

где , что и требовалось доказать.

Теорема 10. Если и , то . Как легко показать, разность положительна.

Теорема 11. (о перемножении неравенств)

Если , и и положительны, то , т.е. обе части неравенства с положительными членами можно умножить на неравенство того же смысла, больший член которого положителен.

Имеем последовательно:

Здесь каждое произведение, а следовательно, и сумма положительны, что и требовалось доказать.

Теорема 12. (о делении неравенств)

Если , , , , - положительны, то .

Действительно, здесь , и, на основании теоремы о перемножении неравенств, имеем , что и требовалось доказать.

Теорема 13. Если - четное число, , а , то , т.е. четная степень любого числа, отличного от нуля, положительна.

Теорема вытекает из положений, что и .

Теорема 14. Если - нечетное число, и , то , т.е. отрицательное число в нечетной степени отрицательно.

Теорема вытекает из следующих соотношений: и .

Теорема 15. Если - нечетное число, и - положительно, а - отрицательно, то . Из предыдущего видно, что , а , откуда .

Теорема 16. Если числа и положительны и , то , где - целое положительное число.

Действительно, если предположить, что , то возведя обе части неравенства в степень . получим , т.е. придем к противоречию.

Теорема 17. Если , то , где - произвольное положительное рациональное число.

В самом деле, из имеем и дальше .

Мы рассмотрели числовые неравенства. Пусть теперь нам даны две функции и . Если поставить между ними один из знаков неравенства (>,<, , ), получим условное неравенство. В дальнейшем такие условные неравенства мы будем называть просто неравенства.

Областью определения или областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства называется множество таких значений , при которых и функция , и функция определены. Иными словами, ОДЗ неравенства - это пересечение ОДЗ функции и ОДЗ функции .

Частным решением неравенства называется всякое удовлетворяющее ему значение переменной . Решением неравенства называется множество всех его частных решений.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их решения совпадают (в частности, если оба неравенства не имеют решений). Если каждое частное решение неравенства является в то же время частным решением неравенства , полученного после преобразований неравенства , то неравенство называется следствием неравенства . В следующих теоремах речь идет о преобразованиях, приводящих к равносильным неравенствам.

Теорема 18. Если к обеим частям неравенства прибавить одну и туже функцию , которая определена при всех значениях из области определения исходного неравенства, и при этом оставить без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. Таким образом, неравенства

(1)

и

(2)

равносильны.

Доказательство: Пусть = - произвольное решение неравенства . Тогда - истинное числовое неравенство. Прибавим к обеим его частям число (по условию это число существует, ибо неравенства (1) и (2) имеют одну и ту же область определения. На основании свойства 6 числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство - истинное. Следовательно, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2).

Обратно, пусть - произвольное решение неравенства (2), значит - истинное числовое неравенство. После вычитания из обеих частей этого неравенства числа по свойству 6 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство . Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.

Следствие. Неравенства

и

равносильны.

Теорема 19. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию , которая при всех значениях из области определения исходного неравенства принимает только положительные значения, и при этом оставить без изменения знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.

Таким образом, если , то неравенства

(1)

и

(2)

(или ) равносильны.

Доказательство: пусть произвольное решение неравенства (1). Тогда - истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число (по условию это число существует, ибо функция имеет смысл при всех из области определения неравенства (1), причем ). Н основании свойства 3 числовых неравенств заключаем. что числовое неравенство (2) тоже истинное при .

Обратно, пусть - произвольное решение неравенства (2), значит - истинное числовое неравенство. После деления обеих частей неравенства на число (по условию) по свойству 12 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство .

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 20. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию , которая при всех значениях из области определения исходного неравенства принимает только отрицательные значения, и при этом изменить на противоположный знак неравенства, то получится неравенство. равносильное исходному.

Таким образом, если , то неравенства

(1)

и

(2)

(или ) равносильны.

Доказательство: Пусть произвольное решение неравенства (1). Тогда - истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число (по условию это число существует, ибо функция имеет решение при всех из области определения неравенства (1)). На основании свойства 4 числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство тоже истинное.

Обратно, пусть - произвольное решение неравенства (2), значит -истинное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на число по свойству 4 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство .

Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и тоже отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 21. Пусть дано неравенство , причем и при всех из области определения неравенства. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же натуральную степень и при этом знак неравенства оставить без изменения, то получится неравенство

,

равносильное данному.

Доказательство: пусть - произвольное решение неравенства . Причем и (по условию). Тогда - истинное числовое неравенство. Но по свойству 17 числовых неравенств получаем, что числовое неравенство тоже истинно. Что и требовалось доказать.

Замечание. При выполнении тождественных преобразований возможно изменение области определения выражения. Например, при приведении подобных членов, при сокращении дроби может произойти расширение области определения. При решении неравенства в результате тождественных преобразований может получиться неравносильное неравенство. Поэтому после выполнения тождественных преобразований, которые привели к расширению области определения неравенства, из найденных решений нужно отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства.

3. Корень - й степени. Иррациональные неравенства.

Определение. Корнем - й степени из действительного числа называется действительное число такое, что .

В частности, если , , то из получаем, что или . Если , , то из получаем, что . Заметим, что если - четное, а , то по свойствам действительных чисел не существует действительных таких, что . Если - четное, а , то существует ровно два действительных различных корня - й степени из . Положительный корень обозначается через - арифметический корень - й степени из , отрицательный . Если , то при любом существует единственный корень - й степени из - число .

Если, - нечетное, то для любого действительного числа существует единственный корень - й степени из . Этот корень называется арифметическим корнем - й степени из числа и обозначается .

Итак:

1. - четное, , - арифметический корень - й степени из неотрицательного числа .

2. - нечетное, - любое действительное число, - арифметический корень - й степени из действительного числа .

Значит, если показатель корня - число нечетное, то действия с такими корнями не вызывают затруднений ( имеет тот же знак, что и ), Основной случай для исследования - когда - четное.

Пусть функция - иррациональная, т.е. задается с помощью иррационального алгебраического выражения и не может быть задана с помощью рационального алгебраического выражения. Иррациональным неравенством называется неравенство вида . Для того, чтобы найти множество решений иррационального неравенства, приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. Несмотря на внешнюю схожесть процедуры решения иррационального уравнения и иррационального неравенства, между ними существует большое отличие. При решении иррациональных уравнений можно не заботиться о том, чтобы после возведения в степень получилось уравнение, эквивалентное исходному: алгебраическое уравнение имеет конечное число корней, из которых проверкой нетрудно отобрать решения исходного иррационального уравнения.

Множество решений неравенства представляет собой, как правило, бесконечное множество чисел, и поэтому непосредственная проверка решений путем подстановки этих чисел в исходное неравенство становится принципиально невозможной. Единственный способ, гарантирующий правильность ответа, заключается в том, что мы должны следить за тем, чтобы при каждом преобразовании неравенства у нас получалось неравенство, эквивалентное исходному.

Решая иррациональные неравенства следует помнить, что при возведении обеих его частей в нечетную степень всегда получается неравенство, эквивалентное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводить в четную степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное исходному и имеющее тот же знак, лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

4. Решение простейших иррациональных неравенств

Если иррациональное неравенство содержит один радикал, то всегда можно привести его к равносильному неравенству, в котором радикал будет находиться в одной части неравенства, а все другие члены неравенства - в другой его части, то есть неравенству вида или , где и - рациональные алгебраические выражения относительно переменной . Привидение иррационального неравенства, содержащего один радикал к виду

(1)

или

(2),

называется уединением радикала.

Разобьем простейшие неравенства на две группы:

I – неравенства, содержащие радикал четной степени, т.е. .

II - неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е. .

I. Рассмотрим решение неравенств вида (1). Ясно, что всякое решение этого неравенства является в то же время решением неравенства (при этом условии имеет смысл левая часть неравенства) и решением неравенства (поскольку ). Значит, неравенство

(3)

равносильно системе неравенств:

где и следствия неравенства (3). Так как в области, определяемой первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат на указанном множестве есть равносильное преобразование неравенства. В результате получаем, что неравенство (3) равносильно системе неравенств:

Таким образом, мы вывели теорему о решении неравенств вида (3).

Теорема 1. Неравенство вида равносильно системе неравенств:

Аналогично для неравенств вида .

Теорема 2. Неравенство вида равносильно системе неравенств

Рассмотрим теперь неравенства вида (2), т.е.

(4)

Оно равносильно системе

(5)

Но в отличие от неравенства (3) может здесь принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому, рассмотрев систему (5) в каждом из двух случаев и , получим совокупность систем:

В первой их этих систем последнее неравенство можно опустить как следствие двух первых неравенств. Во второй системе обе части последнего неравенства можно возвести в квадрат (так как обе его части положительны).

Итак, неравенство (4) равносильно совокупности двух систем неравенств

Заметим, что второе неравенство второй системы можно опустить - оно является следствием последнего неравенства системы.

Теорема 3. Неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств

Аналогично.

Теорема 4. Неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств

Неравенства вида , , , являются частными случаями рассмотренных выше неравенств, когда .

Пример 1. Решим неравенство

Решение. Заданное неравенство - неравенство вида (3), поэтому по теореме 1 оно равносильно системе неравенств:

Так как квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент, то он положителен при всех значениях . Поэтому решения последней системы таковы: .

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство

Решение. По теореме 3 наше неравенство эквивалентно совокупности систем неравенств

Применим метод интервалов для решения последней конструкции неравенств.

Решение первой системы:

Второй:

Получаем совокупность

Ответ: и .

Пример 3. Решить неравенство

Решение. По теореме 1 наше неравенство эквивалентно системе

Последнее неравенство системы выполняется всегда. если и .

Итак, решением неравенства является исключая .

Ответ: .

II. Рассмотрим теперь неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е. . Решение также проводится также путем последовательного возведения обеих частей неравенства в соответствующую степень и преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При возведении неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается. Имеют место следующие эквивалентные преобразования:

При при возведении в степень знак не изменится, т.к. , . Значит при .

может быть любое, т.к. под знаком радикала нечетной степени может стоять как отрицательная, так и положительная функция.

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Возведем в куб обе части неравенства:

или

Решим полученное неравенство методом интервалов

Ответ: .

5. Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух и более радикалов четной степени

Пусть дано иррациональное неравенство

(1)

В неравенстве (1) левые и правые части положительные, поэтому при возведении в четную степень эквивалентность не нарушается, если подкоренные выражения будут неотрицательны. Поэтому имеют место следующие эквивалентные преобразования:

(2)

(3)

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Заменим данное неравенство эквивалентной системой неравенств

и далее

откуда получаем решение неравенства .

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Предварительно упростим данное неравенство. умножив его на положительное выражение (т.к. мы рассматриваем всегда ). Проведем затем эквивалентные преобразования:

или

заменяем неравенство равносильной системой неравенств:

откуда получаем

решением последнего неравенства системы является объединение и , а решением всей системы, а в силу равносильности проведенных преобразований и исходного неравенства, будет луч .

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Перепишем неравенство так, чтобы левая и правая его части были неотрицательными

всегда

и решим его, используя ранее рассмотренные эквивалентные преобразования:

откуда получаем

последнее неравенство системы является уже знакомым нам неравенством вида и решая его возведением в квадрат, получаем .

Ответ: .

Пример 4. Решим неравенство

Решение. Это неравенство равносильно следующей системе неравенств. где первые четыре неравенства являются ОДЗ

или

Так как , то , а потому . Далее , поэтому . Значит, , и тем более .

Но , следовательно. второе неравенство нашей системы выполняется при любых допустимых значения из ОДЗ исходного неравенства, т.е. система, а вместе с ней и исходное неравенство имеют решение .

Ответ: .

Пример 5. Решить неравенство

Решение. Правая часть данного неравенства неотрицательная, поэтому левая его часть должна быть положительной. В противном случае неравенство не имеет смысла. Учитывая это, проведем следующие эквивалентные преобразования:

второе неравенство имеет смысл при любом из ОДЗ, т.е. при . если упростить третье неравенство системы, то получим

или

Последнее неравенство системы имеет положительную левую часть при , значим имеем право возвести неравенство в квадрат и затем легко решаем его, получаем

Ответ: .

6. Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух и более радикалов нечетной степени

Рассмотрим решение неравенств, содержащих переменную под знаком двух радикалов нечетной степени. Решение проводится также путем последовательного возведения обеих частей неравенства в соответствующую степень и преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При возведении неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается. Имеют место следующие эквивалентные преобразования:

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Возводим обе части неравенства в куб:

Ответ: .

Рассмотрим отдельно решение неравенств вида:

После возведения его в куб получим неравенство

.

Многократное возведение в куб неравенства в общем случае не приводит к освобождению от радикалов. Для решения таких неравенств целесообразно использовать метод интервалов. Суть его заключается в следующем.

Пусть требуется решить неравенство вида:

(1)

или

(2)

Сначала установим, при каких значениях переменной левая часть неравенства равна правой его части, то есть решим иррациональное уравнение, которое назовем соответствующим

(3)

Далее находим область определения данного неравенства (она совпадает с областью определения соответствующего уравнения). Затем наносим корни уравнения (3) на числовую ось, на которой отмечаем также область определения неравенства. Пусть, например, область определения неравенства (1) или (2) состоит из двух числовых промежутков и , , , , - корни уравнения (3).

Корни уравнения (3) разбивают область определения неравенства на промежутки знакопостоянства. Функция меняет знак при переходе через корень нечетной кратности, а в промежутках между корнями знак функции постоянный. В рассматриваемом на рисунке примере такими числовыми промежутками будут промежутки , , , , .

Далее определяем в каждом из отмеченных числовых промежутков знак функции . Для определения знака функции достаточно взять любое число из соответствующего промежутка. подставить в функцию вместо переменной и установить знак полученного числового выражения. Те числовые промежутки, в которых функция положительная, будут решением неравенства (1), ибо любое значение переменной, взятое из этих числовых промежутков, обращает его в истинное числовое неравенство. Остальные числовые промежутки образуют множество решений неравенства (2).

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Сначала находим решение соответствующего уравнения

возведем уравнение в куб:

Так как по условию выражение должно равняться , то, сделав соответствующую замену, получим:

Возведем уравнение в куб и найдем искомые значения переменной: и .

Проверка 1.

- ложно, корень - посторонний.

Проверка 2.

- истинно, - корень уравнения.

Областью определения неравенства является множество действительных чисел. Корень соответствующего уравнения разбивает числовую ось на два числовых промежутка:

и .

Взяв любое число (например, ) из первого промежутка и подставив в неравенство, получим . Значит, числовой промежуток не входит в решение неравенства. Значение , взятое из числового промежутка , обращает данное неравенство в истинное числовое неравенство . Значит, числовой промежуток является решением неравенства.

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Решим соответствующее уравнение

после возведения в куб обеих частей уравнения получим

сделаем подстановку получим уравнение

и

Отмечаем корни на числовой оси

Областью определения неравенства являются все действительные числа, поэтому рассматриваем три числовых промежутка: , , . Пусть , тогда - ложное числовое неравенство. Значит числовой промежуток не входит в решение. Пусть , тогда - истинное числовое неравенство и числовой промежуток входит в решение. Аналогично, числовой промежуток тоже входит в решение.

Ответ: , .

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Возведем в куб части неравенства:

откуда

ОДЗ неравенства или .

При значения всегда, а . Значит последнее неравенство истинно при .

Ответ: .

Пример 5. Решить неравенство

Решение. Возведем обе части неравенства в куб, предварительно перенеся в правую часть:

Последнее неравенство эквивалентно системе неравенств

или

Решением последней системы является .

Ответ: .

7. Решение иррациональных неравенств с параметрами

Параметром называют такую переменную, значения которой постоянны в пределах рассматриваемой задачи .

Значения параметров , для которых функции и определены, называются множеством допустимых значений параметров.

Неравенство, содержащее параметры, только тогда считается решенным, когда указано множество всех его решений при произвольной допустимой системе значений параметров. Решение параметрических иррациональных неравенств рассмотрим на примерах. Чтобы проанализировать все допустимые значения параметров и найти соответствующие искомые значения переменной, целесообразно данное неравенство заменить эквивалентной совокупностью неравенств, как это будет показано ниже на примерах.

Пример 1. Решить и исследовать неравенство:

(1)

Решение. Найдем ОДЗ неравенства (1) . Неравенство (1) заменим эквивалентной совокупностью неравенств

Ясно, что второе неравенство будет истинно при любом из ОДЗ, т.к. , . Первое неравенство совокупности имеет и правую и левую положительные части. Возведем в квадрат обе его части.

Все значения будут принадлежать ОДЗ, так как , значит .

Ответ: 1. ; 2. .

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Легко видеть, что при данное неравенство не имеет решений, т.к. получаем положительную левую часть меньше отрицательно правой. что не имеет смысла. Рассмотрим неравенство при . ОДЗ неравенства

Неравенство имеет смысл лишь при . Получаем систему неравенств, эквивалентную исходному неравенству:

Решим последнее неравенство системы. Видим, что оно имеет смысл лишь при . Возведем в квадрат обе части неравенства

при

Сравним и , чтобы определить верхнюю границу значений .

при значит > .

Ответ: если , то

если . то .

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство перепишем так

(1)

Легко видеть, что при а = 0 неравенство решения не имеет. Рассмотрим значение параметра а > 0 и а < 0: левая и правая части неравенства положительные, поэтому при возведением неравенства в квадрат получим неравенства, эквивалентное данному в области его определения. При a < 0 данное неравенство тождественно истинное в области его определения (левая часть

неотрицательная, а правая отрицательная). Поэтому данное неравенство можно заменить следующей эквивалентной совокупностью систем неравенств:

Рассмотрим неравенство (2). После выполнения преобразований получим:

При a > 0 значения х = а и х = 0 не удовлетворяют неравенству, а при всех значениях 0 < x < a указанное неравенство тождественно истинное, поэтому первая система совокупности эквивалентна системе:

Итак, решение неравенства (1)

1) если а > 0 0 < x < a

2) если а = 0 нет решений

3) если a < 0 a  x  0

Пример 4. Решить неравенство:

Решение. Возводим неравенство в квадрат. Так как левая и правая части неравенства неотрицательны, то эквивалентность не нарушается в области определения неравенства. Первый радикал имеет смысл при x  а, второй при x  b. При этих же значениях переменной имеет смысл и выражение, стоящее в правой части неравенства.

Итак,

равносильно системе

но

,

значит последнее неравенство системы равносильно неравенству:

или

А система равносильна системе

* выполняется, если оба множителя под корнем больше нуля или оба меньше нуля, значит наша система равносильна совокупности двух систем:

после выполнения преобразований получаем:

Видим, что в первой системе может быть два случая:

1. a  b,

2. b  a.

В первом случае решением системы будет x < b, а во втором x < a.

Ответ: 1) a  b x < b

2) a  b x < а